+ m(m—1)(m — 2)(m—3) pr La loi de cette expression est maintenant assez évidente pour qu'on puisse la pousser aussi loin qu'on le voudra; mais pour en constater la vérité indépendamment de toute induction, il suffit d'observer qu'un arrangement où il manque un nombre p de lettres, est 3 p retranché fois avec ceux où il en manque 1, ajou manque 3, et ainsi de suite, ce qui donne pour ré renfermant tous les termes du développement de (1—1)”, à l'exception du premier terme, qui est +1, et du, dernier, qui est 1, selon que p est impair ou pair. L'expression ci-dessus est donc égale à o dans le premier cas, et à -2 dans le second; il faudra par consé quent joindre à l'expression du nombre des arrangemens cherchés le terme m(m-1)....(m-p+1). Pr m-p? Le problème proposé est done complètement résolu par la formule tant qu'on se borne aux considérations algébriques, puisque cette formule donne le nombre de chances favorables à l'événement desiré, et qu'en la divisant par P, nombre total des chances, on aura la probabilité demandée, que tous les numéros de la loterie seront sortis dans un nombre n. de tirages. m On voit que la question suppose n>; et Euler remarque en effet que la formule ci-dessus demeure nulle tant que n<; de plus, il faut, dans les va→ leurs de p, s'arrêter à p=m m i. m Il est à propos d'observer aussi que P se réduirait à m", s'il ne sortait qu'un numéro à chaque tirage, c'est-à-dire si l'on avait i=1. 55. Euler a montré que pour mettre facilement en nombres la formule ci-dessus, lorsque m et n étaient des nombres considérables, il suffisait de calculer le logarithme du rapport de chaque terme avec celui qui le précède. En effet, si pour abréger, on pose on déterminera, par une suite d'autant plus conver gente que le nombre n sera grand, le rapport de chaque terme de la formule proposée, comparé au premier, ce qui donnera la probabilité demandée; car cette formule étant divisée par P, devient, par les dénomi❤ nations employées ci-dessus, En prenant m90, i≈5, n=100, on obtient, au moyen des six premiers termes de la formule, pour la probabilité de la sortie des go numéros de la loterie de France, la fraction o,7410, exacte à moins de, et qui surpasse beaucoup (*). Il ne serait pas difficile, en rétrogradant, de s'assurer que c'est du 85° au 86 tirage que cette probabilité passe au-delà de 1, En portant le nombre des tirages à 200, il suffit des deux premiers termes de la formule, qui donnent ,9990, probabilité très-peu différente de 1. Dans le Mémoire cité, Euler ne se borne pas au problème dont je viens de donner la solution; il cherche aussi les probabilités pour la sortie de m-1, m-2, etc, numéros, et parvient à des expressions très - remar (*) Euler trouve 0,7419; mais Trembley qui est revenu sur cette question dans les Mémoires de l'Académ. de Berlin, ann. 1794 et 1795 ( pag. 76) ayant mis plus d'exactitude dans les calculs, est parvenu au nombre rapporté ci-dessus. quables. J'indiquerai également aux lecteurs un Mémoire inséré dans ceux de l'Académie de Berlin, pour l'année 1751, où il détermine les probabilités dans le jeu de cartes appelé jeu de rencontre. Le seul emploi de la théorie des permutations le conduit à des résultats très-élégans et très-curieux. De la Règle des Paris, et de l'espérance mathématique. 56. Jusqu'ici je n'ai encore considéré les probabilités qu'en elles-mêmes; mais le plus souvent on ne les calcule que pour régler la mise et le gain dans les jeux, et en général pour apprécier l'avantage ou le désavantage pécuniaire des spéculations fondées sur des événemens incertains. Avant qu'aucune théorie mathématique eût éclairé celle des hasards, on s'était déjà entendu pour regarder comme équitable tout pari dans lequel les parieurs déposent des sommes proportionnelles au nombre des chances qui les feraient gagner. Celui qui, dans le jet d'un dé à 6 faces, parierait d'amener une face désignée, ne devrait déposer au jeu que la 5o partie de ce qu'y mettrait son adversaire, puisqu'il n'aurait en sa faveur que 1 chance, tandis que l'autre en aurait 5. Quelque naturelle que soit cette conclusion, on la rendra peut-être encore plus évidente, en concevant d'abord que chaque face du dé soit assignée à un parieur différent, et que la somme mise au jeu doit échoir à celui qui aura désigné la face amenée par le jet. Il n'y a pas de raison alors pour que la mise de l'un de ces joueurs soit plus considérable que celle de tout autre. Son gain sera donc quintuple de cette mise, et si quelqu'un voulait se substituer aux 5 autres, avant que le sort eût prononcé, il devrait nécessairement leur rendre leur mise; il déposerait donc 5 fois autant |