contre C, ou celle du 4° tir. (m+n) (m+n-1)'m+n-2 Si C n'amène qu'un jeton noir, A tirera de nouveau, du tas où le nombre de jetons noirs sera réduit à n-3; il aura donc la probabilité (m+n) (m+n-1) (m+n-2)*m+n-3 n(n-1) (n-2) m de gagner. de perdre. (m+n) (m+n—1) (m+n—2) m+n-3 En continuant ainsi, et pour abréger faisant m+n=t, on formera la suite t(t − 1) (t − 2) (t—3)' t(t—1)(t—2)(t—3)(t—4) * mn(n-1)(n-2)(n—3)(n—4) etc. dans laquelle les 1er, 4, 7°, etc. termes expriment les probabilités en faveur du joueur A, les 2o, 5o, 8e, etc. les probabilités en faveur du joueur B; enfin les 3o, 6, 9, etc. les probabilités en faveur du joueur C. Il est visible que le jeu finit au plus tard lorsque le nombre des jetons noirs est épuisé, et que la probabilité totale pour chaque joueur se forme en ajoutant celles qu'il a dans chaque tirage. Le calcul des termes de la suite indiquée devient très facile quand on rapporte chaque terme à celui qui le précède, comme je l'ai fait dans le n° 27% Les nombres proposés par Huygens donnant m= 4, n = 8, t = 12, on trouvera, pour le joueur A, la probabilité 4 4 8.7.6 4 8.7.6.5.4.3 12 + + 12 11.10.9 12 11.10.9.8.7.6'. pour le joueur B, la probabilité + 4 8 4 8.7.6.5 4 8.7.6.5.4.3.2 + 12 11 12 11.10.9.8 12 11.10.9.8.7.6.5' pour le joueur C, la probabilité + + 4 8.7 4 8.7.6.5.4 4 8.7.6.5.4.3.2.1 12 11.10 12 11.10.9.8.7 12 11.10.9.8.7.6.5.4° Réduisant toutes ces fractions au dénominateur commun, le plus simple qu'elles puissent avoir, les sommes ci-dessus deviennent respectivement 48. Les épreuves répétées que suppose le problème dont je viens de rapporter la solution, diffèrent de celles que j'ai considérées dans le n° 20, en ce que le nombre des chances diminue à chaque épreuve. Ce genre de hasard ne peut être assimilé au jet des dés; il revient au tirage dans une urne où l'on ne remet point les boules qui en sont sorties. Les formules qui, dans cette hypothèse, remplacent le développement des puissances du binome m+n, sont assez remarquables pour trouver place ici; et complètent ce qui a été dit sur les épreuves répétées.. Soit une urne contenant m boules blanches, n boules noires; si l'on désigne par A la sortie d'une boule blanche, par B celle d'une boule noire, que pour abréger on fasse m+nt, et que l'on ait soin, après chaque tirage, d'ôter 1 tant du nombre total des boules que du nombre de celles qui sont de la cou-, leur supposée sortie à ce tirage, on trouvera par le prin cipe des probabilités composées, les suivantes. Au 1er tirage, L'examen attentif de ce petit nombre de formules suffit pour faire connaître la loi suivant laquelle se. composent toutes les probabilités des diverses successions des événemens A et B. Ici, comme dans le n° 21,,; et 1 événement B, par exemple, sera 3 les coefficiens s'introduisent dans les successions mélangées, dès qu'on fait abstraction de l'ordre des événemens la probabilité d'obtenir 2 événemens A m(m-1)n t(t-1)(t-2) D'après cette observation on verra facilement que la probabilité d'obtenir, dans un nombre p d'épreuves, p-q événemens A et q événemens B, sans distinction d'ordre, sera exprimée par 1.2.3... . . . . . . q (*) ・(t—p+1) m(m-1)...(m—(p−q)+1)×n(n−1)...(n−q+1) t(t−1).. 49. La théorie des permutations et des combinaisons est, comme on l'a dû voir dans la plus grande partie de ce qui précède, un des moyens les plus féconds pour résoudre les problèmes concernant le calcul des probabilités. Cette théorie, servant de fondement à la démonstration la plus élémentaire de la formule du binome de Newton, se trouve dans les Elémens d'Algèbre; mais on n'y partage qu'en deux groupes la totalité des lettres dont on cherche les arrangemens divers; et pour s'élever à toute la généralité que le sujet comporte, il faut déterminer ce qui doit arriver lorsqu'on partage en un nombre quelconque de groupes, le nombre de lettres donné. Les formules propres à cette détermination se trouvent dans le développement des puissances des polynomes. En raisonnant sur les produits des trinomes a+b+c′, a′′ +b" +c", a′′ +b′′ + c", etc. (*) Cette formule a été indiquée par M. Laplace, dans les Mémoires des Savans étrangers, t. VI, pag. 623. comme on l'a fait dans le n° 21, sur ceux des binomes m'+n', m" + n", m" + n", etc., on verra par les lois de la multiplication, que ces produits comprennent tous les arrangemens qu'on peut faire des lettres a′, b′, c′, a", b", c", a", b′′, c", en en prenant une dans chaque facteur du produit. Il suit de là que si les lettres a, b, c, désignaient respectivement le nombre de chances qui amènent les événemens A, B, C, à la 1re, à la 2°, à la 3o etc. épreuves, un produit partiel a' b" c" bv, par exemple, ferait connaître le nombre de chances qui répondent à la succession d'événemens simples désignée par ABCB. Quand on supposera que a'=a"=a"...—a, b'=b"-b"...=b, c'=c"=c"...=c, le produit (a' + b'+c') (a"+b" +c") (a"+b"+c") etc. se changera dans le trinome (a+b+c) élevé à une puissance marquée par le nombre des facteurs, ou, ce qui est la même chose, par celui des épreuves; un terme quelconque de ce produit, a'b"c"b" devenant ab'c, se trouvera répété autant de fois qu'il est possible de former des produits différens contenant les lettres a et c 1 fois chacune, la lettre b, 2 fois, et soumises alternativement aux accens > portés jusqu'au nombre marqué par celui des épreuves. Soit n ce dernier nombre, l'expression du terme général du trinome (a+b+c)" étant 1.2.3.............n 1.2...px1.2...q ×1.2...r abic, sip+q+r=n (*), (*) Voyez le Complément des Elémens d'Algèbre, ou bien, l'Introduction placée à la tête du premier volume du Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral. |