donner à la philosophie de ce calcul, pour fonder l'utilité de ses applications. Les termes du développement de (m+n)P indiquant les chances favorables à chacun des événemens composés qui, dans un nombre p d'épreuves, peuvent résulter des diverses successions d'événemens simples A et B, il est facile de déterminer lequel de ces événemens composés a le plus de chances en sa faveur, et est par conséquent le plus probable. Il suffit pour cela de chercher quel est de tous les termes du développement (m+n), celui dont la valeur est la plus considérable. Avant de passer à la détermination générale de ce terme, je crois à propos d'en donner quelques exemples numériques pour ceux des lecteurs à qui l'algèbre ne serait pas très - familière. Premièrement, si l'on fait mn, le plus grand terme sera celui qui occupe le milieu de la formule quand le nombre pest pair; ef lorsque ce nombre sera pair, il y aura deux termes consécutifs égaux, surpassant tous les autres et placés aussi dans le milieu du développement, comme on le voit ci-dessous dans les premières puissances du binome m+n, (m+n)2 = m2 + 2mn+n2, (m+n)3=m3 +3m2n+3mn2 +n3, (m+n)4=m4 + 4m3n + 6m3n3 + 4mn3 +na, (m+n)5m3 +5m1n +10m3n2+10m2n3+5mn4+n3. Les termes 2mn et 6m2n2 du milieu de la seconde et de la quatrième deviennent respectivement 2m2 et 6m4, lorsque m=n, et ce sont les plus considérables parce qu'ils ne diffèrent des autres que par leur coefficient qui est le plus grand de tous ceux de la formule. Les termes 3m3n et 3mn2 dans la troisième puissance, se changeant en 3m3, deviennent égaux; il en arrive autant, dans la cinquième, aux termes 10m3n et 10m2n3 qui se changent en 10m5 et ont le plus grand coefficient. Il résulte de là que si l'on considère un jeu où le nombre des chances soit le même en faveur de l'évé→ nement et de son contraire B, les événemens composés les plus probables seront 1 fois A et 1 fois B dans 2 épreuves, 2 fois A et 2 fois B dans 4 épreuves, et ainsi de suite lorsque le nombre des épreuves est pair. Quand ce nombre est impair, il y a dans chaque épreuve deux événemens composés dont la probabilité est égale et surpasse celle de tous les autres, savoir, ceux d'amener 2 fois A et 1 fois B ou 2 fois B et 1 fois A dans 3 épreuves, 3 fois A et 2 fois B ou 2 fois A et 3 fois B dans 5 épreuves, et ainsi de suite. Les probabilités de ces divers événemens seront Ces diverses probabilités décroissent à mesure que le nombre des épreuves augmente; et cela est tour simple, car si chacune est la plus grande de toutes celles qui naissent du nombre d'épreuves dont elle fait partie, elle ne répond qu'à un seul des événemens composés qui se multiplient à mesure que l'on embrasse un plus grand nombre d'épreuves. Il n'en est pas ainsi pour les probabilités relatives des I divers événemens composés fournis par le même nombre d'épreuves. Par exemple, la probabilité d'amener plutôt 1 fois et 1 fois B, que 2 fois A, étant le quotient de la probabilité absolue du premier de ces deux événemens composés, par la somme des probabilités de l'un et de l'autre (13), on aura La probabilité d'avoir plutôt 2 fois A et 2 fois B que 4 fois A de suite, se trouvera de même égale à fraction qui surpasse. On obtiendrait toujours des résultats semblables, en poursuivant le calcul, et on en conclurait la différence de possibilité entre les évé nemens composés de la répétition constante du même événement et la possibilité de l'événement dont la composition se rapproche le plus du rapport de possibilité des événemens simples. Le seul bon sens suffit sans doute pour mener à ces conclusions, mais il n'en pourrait donner les valeurs précises, de même qu'il n'avait pu faire deviner au chevalier de Méré la réponse à la question qu'il s'était proposée ; l'emploi du calcul sera donc indispensable toutes les fois qu'il s'agira de déterminer des valeurs résultantes d'opérations compliquées ou comprises dans des limites étroites. 25. Les formules générales correspondantes aux re marques du no précédent, se présentent d'elles-mêmes, puisqu'il ne s'agit que de calculer le terme qui tient le milieu dans le développement d'une puissance paire du binome, ou les deux qui en prennent la place, quand la puissance est impaire. L'expression du premier est P(p—1)... (p—2+1) Pour en calculer la valeur, quand p est très-grand, il faudrait former des produits composés d'un nombre considérable de facteurs, ce qui devient bientôt im praticable, à moins qu'on ne s'aide d'une formule trèsremarquable découverte par Stirling, ou de celles que M. Laplace a données dans les Mémoires de l'Académie des Sciences, années 1781 et 1782, et dans sa Théorie analytique des Probabilités; on trouvera la première dans la note I, à la fin du présent ouvrage. En l'employant au calcul de la probabilité d'obtenir 50 fois l'événement A et 50 fois l'événement B sur 100 épreuves, on trouve o, 0795892, probabilité très-petite en elle-même, parce qu'il ne s'agit que d'un seul événement pris parmi 101; mais si on la compare à celle d'amener 100 fois de suite l'événement A, on aura 1 2100 0,0796 1 2100 X 0,0796 ce qui ne diffère pas sensiblement de l'unité, puisque le dénominateur de la fraction qu'il faut retrancher de cette unité, étant développé, aurait 30 chiffres. Ce résultat montre la différence énorme qu'il y a entre les possibilités respectives des deux événemens dont je viens de faire la comparaison; mais aussi il faut observer que la probabilité- d'amener sans interruption, soit l'événement A, soit l'événement B, est plus petite que celles de tous les autres, événemens com→ posés; celles-ci vont en augmentant à mesure qu'on se rapproche du terme moyen. 2 26. Lorsqu'il n'y a pas le même nombre de chances en faveur de chacun des événemens simples A et B l'événement composé le plus probable est encore celui dans lequel le nombre des événemens A est à celui des événemens B, dans le rapport du nombre de chances favorables au premier, au nombre de chances favorables au second. Pour bien faire comprendre cet énoncé, prenons 3, n 2 et faisons successivement p5,10., Dans le premier cas, le terme le plus considérable du développement de (mn) sera J |