Si maintenant l'on pose m'm"m"=m, ce qui changera

(m' + n') (m"+n") (m"+n") en (m+n)3, les termes indiqués ci-dessus deviendront tous égaux à m3n, nombre qui sera celui des chances relatives à chacun des trois événemens désignés, tous distincts lorsqu'on fixe l'ordre de la succession des événemens simples dont ils se composent.

"

Si l'on fait abstraction de cet ordre, ils ne formeront plus qu'un seul événement répondant à la somme de toutes leurs chances, c'est-à-dire '3m3n, expression qui ne diffère de m'n que par le coefficient que ce produit obtient dans le développement de (m+n). Il est aisé de voir qu'on arriverait aux mêmes conclusions pour un nombre quelconque d'épreuves.

nemens composés que peut offrir un nombre p d'épreuves (20), se changera en

formule dans laquelle un terme pris isolément exprime la probabilité d'un événement composé de A répété autant de fois que le marque l'exposant de la lettre e, et de B répété autant de fois que le marque l'exposant de la lettre f

Le plus souvent on ne fixe pas d'une manière précise le nombre de répétitions du même événement; mais on lui assigne seulement une limite. C'est ainsi qu'on peut chercher la probabilité de n'avoir pas moins de p 1 événemens A sur le nombre p d'épreuves, énoncé qui admet aussi le cas où il arriverait p événe mens A, et auquel satisfont par conséquent les deux premiers termes de la formule ci-dessus; la probabilité de ces événemens sera donc indiquée par

somme des deux premiers termes.

De même la somme des trois premiers

indiquera la probabilité de ne pas avoir moins de p-2 événemens A, et plus de 2. événemens B.

Et en général la somme des termes de la formule, depuis le premier jusqu'à celui qui est affecté de

indiquera la probabilité de n'avoir pas moins de p-q événemens A et plus de q événemens B.

Si par exemple on demande la probabilité d'amener le point 6 au moins 2 fois dans quatre jets successifs d'un dé à six faces, on fera

Si on eût demandé seulement d'amener 6 au moins une fois, il aurait fallu prendre la somme des 4 premiers termes du développement de (e+f); mais comme e+f=1, et que par conséquent (ef)41, la somme des 4 premiers termes est égale à 1 -f; il est donc plus court de calculer directement le terme f pour le retrancher de l'unité, ce qui donnera

pour la probabilité demandée; et puisqu'elle surpasse il en résulte qu'il est probable que le point 6 arrivera au moins une fois dans quatre jèts (9).

La probabilité de l'événement contraire est f4625 puisque le terme f4, ne contenant pas la lettre e, in

dique la répétition des seuls événemens B; c'est donc par sa contraire que nous avons déterminé la probabilité demandée ; et il faut opérer ainsi toutes les fois que l'expression de la première est plus simple que celle de la seconde.

23. On voit encore par l'exemple précédent comment la probabilité d'amener le point 6 au moins une fois, qui n'était que à la première épreuve, s'est accrue par la répétition des jets du dé. Ce changement peut faire naître la question suivante : déterminer le nombre d'épreuves nécessaire pour qu'un événement acquière une probabilité donnée ? Si on demandait en combien de jets du même dé on obtiendra la probabilité g que le point 6 arrivera au moins une fois, on aurait e · }, ƒ = /, q=p — 1, et il faudrait déterminer p par la condition que

la

somme des termes

fût égale à g, ce qui ne pourrait se faire immédiatement que par des essais répétés; mais en prenant la probabilité contraire, exprimée par le seul terme f", et qui, dans l'hypothèse proposée, doit être égale à ì—g ou k, on aura l'équation

fk, d'où p log f= log k, p=

log k

log f'

nr

si l'on substitue aux lettres f et k, les fractions or

on

J'appliquerai cette formule au problème qui paraît avoir été le premier de ce genre que les géomètres aient résolu, c'est celui de trouver le nombre de jets de deux dés, dans lequel il y a autant de probabilité d'amener deux six (ou sonnez ) que de ne pas le faire. Pour cet exemple, on a

1

k==,e=36

36.

f

=

35

12

36 (7), doup=136–135=24,6;

ce qui montre que l'événement proposé est moins probable que le contraire, quand on n'embrasse que 24 jets, et plus probable, quand on en prend 25. Cette conclusion paraissait fausse au chevalier de Méré qui proposa le problème à Pascal, et tourna ses méditations sur le calcul des probabilités. Ce chevalier, homme d'esprit, mais étranger aux Mathématiques, croyait que puisqu'il suffisait de 4 jets pour arriver à une probabilité surpassant, d'amener le point 6 avec un seul dé, qui n'offrait que 6 chances à chaque coup, le jet de deux dés en présentant 36, ou 6 fois 6, il devait suffire de 6 fois 4 ou 24 jets, pour obtenir le même résultat par rapport à l'événement 6,6 (ou sonnez); le contraire lui paraissait un grand scandale, qui lui faisait dire hautement que les propositions n'étaient pas constantes, et que l'Arithmétique se démentait. (Lettre de Pascal à Fermat, OEuvres de Pascal, t. IV, p. 419).

24. La considération des divers événemens composés qui peuvent arriver dans les épreuves répétées du même jeu, mérite toute notre attention, parce qu'elle, fournit, ainsi que l'a remarqué d'abord Jacques Bernoulli dans la quatrième Partie de l'Ars conjectandi, et ensuite Condorcet dans ses divers écrits sur le Calcul des Probabilités, les meilleures bases que l'on puisse