le nombre est 8, sur lesquelles il s'en trouve 6 blanches, la probabilité d'en obtenir une de cette couleur est ou, fraction qui surpasse L'erreur que l'on commettrait vient de ce que pour mettre en commun les boules de la première urne avec celles de la seconde, il faut que le nombre en soit le même dans l'une et dans l'autre, afin que toutes les chances soient également possibles, ce qui n'aurait pas lieu sans cela. En effet, dans le tirage à effectuer sur la première urne, les 3 boules qu'elle renferme prises toutes ensemble comptent pour autant que les 5 qui sont contenues dans la seconde urne; mais si on réunit les unes avec les autres, les dernières étant plus nombreuses peuvent se présenter plus souvent à la main et acquièrent par conséquent une plus grande possibilité de sortir. Cette inégalité disparaît lorsqu'on réduit les probabilités au même dénominateur, ce qui d'ailleurs n'en altère point les valeurs respectives. En procédant ainsi, on change les fractions et en 1 et 1: alors la première urne est censée contenir 10 boules blanches et 5 noires, la seconde, 12 boules blanches et 3 noires, les probabilités respectives sont les mêmes qu'auparavant, et le nombre total des boules est devenu le même dans chaque urne; considérant donc ces boules comme ́réunies dans une seule urne, au nombre de 30 dont 22 blanches, on a pour le tirage de l'une de celles-ci la probabilité 32 ou . en On s'assurera en général de l'identité des résultats. obtenus par l'un et l'autre de ces deux procédés, supposant des urnes en nombre a, contenant chacune m boules blanches et n noirés, et des urnes en nombre b, contenant p boules blanches et q boules noires. Par le premier procédé, on aura pour la probabilité du tirage d'une boule blanche, en faisant pour abréger a+b= c, m + n = r, p+q=s. toutes les urnes par une seule contenant crs boules sur lesquelles il y en a ams + bpr qui sont blanches, d'où résultera la probabilité trouvée ci-dessus, bien différente de la fraction am + bp formée en divi sant le nombre actuel des boules blanches par le nombre total et actuel des boules. Cet exemple fait voir combien il est aisé de se tromper dans la recherche des probabilités; et il s'en présentera encore d'autres du même genre dans la suite. Détermination des Probabilités dans les épreuves répétées des mémes hasards. 20. J'entends ici par épreuves répétées, les jets successifs d'un même nombre de dés semblables, ou les tirages de numéros pris dans une urne, et remis chaque fois, afin de conserver toujours le même rapport entre le nombre de chances de chaque espèce. Ce genre de probabilités se détermine d'abord par la considération des probabilités composées. Se proposer, par exemple, d'amener deux fois de suite le point 6, en jetant deux fois le même dé, c'est de mander le concours de deux événemens dont la probabilité simple est; on aura donc pour la probabilité cherchée (17) ; × & = 36 ; on trouvera de même que la probabilité de ne pas amener du tout le point 6 est. La somme de ces deux probabilités n'est pas 1, parce qu'outre les deux événemens que nous venons d'indiquer, il y a encore celui de n'amener 6 qu'au premierjet, ou de ne l'amener qu'au second: la probabilité du premier événement est="36 celle du second,.; et la réunion des quatre probabilités qu'on vient de trouver, donne 5 Au lieu de calculer ainsi, l'une après l'autre, les probabilités des divers événemens qui résultent des jets ..successifs du même dé, on peut les obtenir toutes à la fois dans une même formule. Il suffit pour cela de considérer que si dans une épreuve il y a m chances qui produisent l'événement A, n chances qui produisent l'événement B; sur le nombre (m+n) (m + n) =(mn) qui embrasse tous les arrangemens pos→ sibles des chances dans les deux épreuves, il y en aura m2 qui produiront la succession AA, mn la succession AB, nm la succession BA et n2 la succession BB (17); ensorte que les probabilités pour obtenir les évé¬ nemens composés comme il suit, $ Si l'on ne distinguait pas l'ordre des événemens simples, on regarderait comme ne formant qu'un seul événement composé, les arrangemens AB et BA; alors la pro babilité d'obtenir l'un ou l'autre serait 2mn (m + n)" dont les numérateurs sont les termes du développe ment de la seconde puissance du binome m +n, et dont la somme est égale à l'unité. On trouve d'une manière semblable les diverses probabilités pour un nombre quelconque d'épreuves, dans le développement de Le premier terme m indique le nombre de chances qui sur un nombre p d'épreuves, donnent p fois l'événement* A; Le second termem31n, le nombre de chances qui donnent P -1 fois l'événement A et une fois l'événement B, dans quelqu'ordre que ce soit. Le terme général P (p—1) (p—2)...(p~q+1) 1.2.3....q le nombre de chances qui donnent p q fois l'évé nement A et q fois l'événement B, sans distinction d'ordre. le nombre Si on voulait établir une succession déterminée, il fau drait supprimer le coefficient et ne prendre que min. En divisant donc chacun de ces termes par total des chances qui est (m + n), on aura les probabilités de chacune des successions d'événemens simples auxquelles ils se rapportent. 21. Pour vérifier directement ces énoncés, il n'y a qu'à désigner par m' et n', m" et n", m" et n"; etc. le nombre des chances qui amènent les événemens A et B à la première, à la deuxième, à la troisième, etc. épreuve, et développer les produits, (m'+n') (m"+n"), (m'+n′) (m"+n") (m"+n”), etc. On a pour le premier D'après ce qui a été dit dans le n° 17, un terme quelconque de ces produits exprimera le nombre de chances qui donnent l'événement composé des événemens simples A et B, répétés, le premier autant de fois que la lettre m entre dans ce terme, et le second autant de fois qu'y entre la lettre n, les accens |