jouait avec deux dés sous la condition d'amener indistinctement soit 7, soit 8, on verrait par le tableau de la page 11, qu'il y a 6 manières d'amener le point 7, 5 d'amener le point 8; la probabilité d'amener l'un ou l'autre serait donc

J

36

ce qui est d'ailleurs évident, puisque la condition proposée embrasse 11 chances sur les 36 que le jet peut

amener.

15. Souvent l'événement attendu se compose du concours de plusieurs autres qui ont chacun leur probabilité propre, et desquelles il faut déduire celle du premier. Si, par exemple, lorsqu'il s'agit de tirer d'un jeu de 32 cartes une figure d'une couleur donnée, on partage d'abord ce jeu en 4 paquets, dont chacun ne contienne que les 8 cartes d'une même couleur, mêlées d'ailleurs d'une manière quelconque, la carte désignée pouvant être indifféremment dans l'un quelconque des 4 paquets, la probabilité de mettre la main sur le pa

quet qui la renferme est ; mais comme ce paquet contient 8 cartes, sur lesquelles il y en a 3 qui remplissent la condition demandée, la probabilité de mettre la main sur l'une de ces cartes, lorsqu'on en prend une dans le paquet où elle se trouve, est. Ainsi pour arriver à la carte demandée, il faut le concours de deux événemens dont les probabilités particulières sont et 3. La probabilité de ce concours est le produit des deux précédentes; car puisque les paquets sont égaux, et qu'un seul contient la carte désignée, il ne faut chercher les chances qui la donnent que dans le du nombre total des chances, et comme des 8 chances renfermées dans ce 3 seulement remplissent la condition de◄

mandée, il faudra donc prendre les de pour obtenir le rapport du nombre des chances favorables, au nombre total des chances, ou la probabilité cherchée qui sera X=

16. L'exemple ci-dessus peut être représenté par le jet simultané de deux dés, le premier ayant 4 faces, 1 marquée A, les 3 autres blanches, et le second ayant 8 faces, 3 marquées B, les 5 autres blanches: le concours des lettres A et B, sera précisément semblable à celui des événemens indiqués dans le n° précédent. Mais en raisonnant comme dans le n° 7, on voit que l'une quelconque des faces du premier dé pouvant se présenter avec toutes celles du second, le nombre total des chances sera 4×832, et sur ce nombre 3 seulement, formées par la combinaison de la face A du premier dé avec les 3 faces B du second, rempliront la condition demandée; la probabilité cherchée sera donc comme on l'a trouvé d'une autre manière.

m+n

=

mp

p+q (m + n) (p + q)

car le genre de hasard proposé peut être assimilé au jet de deux dés, dont le premier aurait m faces marquées A, et n faces blanches, le second p faces marquées B et q faces blanches. Alors le nombre total des chances possibles serait (m + n) (p + q); mais sur ce nombre, il n'y aurait que les mp combinaisons des faces marquées A avec les faces marquées B qui

produiraient l'événement demandé; ainsi la probabilité du concours des événemens A et B serait

On étendrait sans peine ces considérations au concours de trois événemens A, B, C, dont les probabilités particulières seraient

=

p

(m+n)(p+q)(r+s) m+n p + q

rts

et ainsi de suite, quel que fût le nombre des événemens. En désignant sous la dénominatión de probabilité simple, celle de chaque événement pris en particulier, et de probabilité composée, celle de leur concours, on peut donc poser généralement ce principe: que la probabilité composée s'obtient en faisant le produit des probabilités simples.

18. La considération des probabilités composées, dispensant de former le développement de toutes les combinaisons possibles, abrège quelquefois les calculs : en voici un exemple assez simple. Supposons qu'on ait assemblé dans un paquet les 13 cartes d'une même couleur qui se trouvent dans un jeu complet de 52 cartes, et qu'on demande la probabilité que les deux premières cartes du paquet soient un as et un deux; la probabilité que l'as soit à la première place est, puisque cette carte pourrait occuper l'une quelconque des 13 places du paquet; cette carte ôtée, il en reste

12; ainsi la probabilité que le deux se trouvera la première carte de ces 12, sera: la probabilité du concours de ces deux événemens sera donc

Pour résoudre cette question en remontant à l'énumération de toutes les chances possibles, il faut d'abord chercher le nombre des arrangemens dont peuvent être susceptibles 13 cartes, et qui, d'après la formule des permutations donnée dans les Elémens d'algèbre, est le produit 1.2.3....11.12.13. On observera ensuite que lorsque deux des 13 cartes du paquet ont une place déterminée, il en reste 11 que l'on entr'elles de toutes les mapeut arranger nières possibles, c'est-à-dire de 1.2.3....11 manières ce sont là les chances qui produisent l'événement. desiré, dont la probabilité sera par conséquent

En supprimant les facteurs 1.2.3....11, communs au numérateur et au dénominateur, il viendra seulement

༡

19: La question suivante montrera mieux encore la facilité que la considération des probabilités composées procure pour résoudre les problèmes, et donnera lieu à quelques remarques utiles.

"Soient deux urnes dans l'une desquelles il y ait

boules blanches et 1 noire, et dans l'autre 4 boules

blanches et 1 noire; on demande la probabilité d'amener une boule blanche, en prenant au hasard dans l'une quelconque de ces urnes ? La probabilité qu'on mettra la main dans la première urne étant, et la probabilité qu'il sortira une boule blanche de cette urne étant, la probabilité du concours de ces deux éyénemens est donc ou.

On a de même, pour le tirage de la seconde urne,

Les deux probabilités et, répondant à deux parties distinctes d'un même événement, doivent s'ajouter pour former la probabilité totale

La probabilité de tirer une boule noire se calcule de même. On trouve pour la première urne, pour la seconde, et la somme. En l'ajoutant à, il vient l'unité, ainsi que cela doit être, puisqu'il s'agit de deux événemens dont l'un ou l'autre arrive nécessairement.

On éprouvera peut-être quelque difficulté à concevoir nettement ce que l'on fait quand on ajoute, comme ci-dessus, des probabilités tirées d'épreuves différentes. Pour l'éclaircir, je vais résoudre la même question, en considérant les deux tirages conjointement, et je préviendrai d'abord une erreur dans laquelle il paraît facile de tomber. Au premier coup d'œil, on pourrait penser que puisque les deux tirages s'opèrent sur la totalité des boules contenues dans les deux urnes, et dont