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(Elém. d'Algèbre); quant à la somme s, elle se partagera entre les rentiers, suivant le nombre d'individus existans chaque année.

Lorsque la classe des rentiers est très-nombreuse, il est évident que le nombre n est celui des années comprises depuis l'âge où ils font leur placement jusqu'au dernier âge marqué dans la Table de mortalité; mais dans le cas contraire, le banquier leur ferait tort, en reculant ainsi le terme de l'annuité. Saint-Cyran propose de prendre pour ce terme l'année où il y a une probabilité que tous les rentiers seront éteints; dans le cas de deux rentiers, par exemple, ce serait l'année où la quantité ff' du n° 113 se réduirait à 1, c'està-dire le terme de la durée probable de l'association (*). Si les rentiers ne devaient hériter que d'une portion du revenu des décédés, de la moitié, par exemple, le banquier aurait à payer, à la fin de la 1** année, v tv rentes, à la fin de la seconde,

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l'équation

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(*) Recherches sur les emprunts, 2o part., pag. 48. Si on prenait cette même durée pour le terme des rentes viagères quelconques, le calcul, réduit à celui d'une annuité, deviendrait beaucoup plus simple; mais, excepté dans des cas très-rares, il donnerait toujours des rentes plus faibles que le procédé du no 119. Sous ce rapport il conviendrait peut-être mieux au cas où il s'agit d'une seule rente; car alors le banquier s'expose beaucoup: mais pourquoi le rentier ferait-il un contrat désavantageux, quand il peut obtenir un taux plus consi、 dérable en prenant part à de nombreux placemens ?

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125. La théorie des caisses d'épargnes ne diffère pas beaucoup de celle des rentes viagères sur une seule tête; et celle des caisses par le moyen desquelles on assure des pensions aux veuves, ressemble beaucoup à celle des rentes viagères sur deux têtes.

Dans les établissemens de la première espèce, chaque associé donne, soit une somme une fois payée, soit une somme annuelle, pour avoir droit à une pension dans un âge ayancé, ou à des secours en cas de maladie. Il est aisé de voir que pour le premier cas si S désigne la somme donnée pour récevoir une pension s, après un nombre n d'années, les sommes étant rapportées à l'époque du placement, on aura l'équation

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Si on paie des sommes annuelles S, S1, S., il faudra substituer à S la suite

etc.

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C'est à ce cas que reviennent les retenues que l'on fait aux employés dans certaines administrations, pour leur assurer des pensions de retraite.

Si la caisse doit donner des secours en maladie, il faudra introduire dans le second membre les produits de ces sommes, réduites à la même époque et multipliées chacune par la probabilité de les délivrer. Cette probabilité doit se conclure des observations faites avec soin, sur le nombre et la durée moyenne des ma

ladies dans la classe d'individus à laquelle la caisse est particulièrement affectée.

L'utilité de semblables établissemens est si évidente, que de simples ouvriers laborieux et économes, se sont réunis pour en former. Quoiqu'ils n'eussent pas tous les élémens nécessaires pour bien asseoir leurs calculs, et que leur petit nombre ne leur donnât pas autant d'assurance qu'une réunion plus considérable, cependant plusieurs de ces réunions ont prospéré. Toutes ont senti l'avantage qu'elles auraient à s'étendre; mais, comme on peut le voir par les intéressans rapports. qu'a fait sur ce sujet, à la Société Philantropique, M. Dupont de Nemours, presque toutes ont craint d'attirer les regards, de peur d'être atteintes par la versatilité des systèmes financiers de l'état; car ce n'est que par une grande sûreté dans les placemens, que ces caisses peuvent prospérer. L'idée de les lier avec l'administration du Mont-de-Piété, comme l'a proposé M. Mourgue, dans le plan qu'il a présenté à l'Institut, serait très-heureuse, si cette administration, qui peut faire l'emploi des plus petites sommes, et dont les capitaux sont dans un mouvement continuel, demeurait îndépendante des fonds publics (*).

126. La forme des caisses affectées aux pensions des veuves, peut varier aussi de plusieurs manières; mais il suffit de considérer la forme la plus simple, pour pouvoir, au moyen de ce qu'on a vu dans les articles précédens, se faire une idée de la manière de traiter les autres. Que chaque homme marié donne, soit en se mariant, soit annuellement, une somme, sous la condition que s'il meurt, sa veuve recevra, soit une somme, soit une rente donnée; on exprimera

(*) Plan d'une caisse de prévoyance et de secours.

facile

ment les relations de ces sommes, en les réduisant toutes à la même époque, et en les multipliant ensuite par les probabilités de les payer.

Si la condition est un seul paiement à faire par chaque membre de l'association et par la caisse, il suffira de substituer au nombre v, dans la première équation du n° 125, le nombre ee' du n° 113, calculé d'après des Tables. appropriées à la classe d'individus dont il s'agit, et aux nombres V, V+1, etc. celui des femmes qui deviennent veuves chaque année, lequel est la différence des valeurs de ef d'une année à l'autre.

Si les paiemens sont faits annuellement, tant par les associés que par la caisse, alors c'est la seconde équation du n° 125 qu'il faut employer, en substituant aux v, V., v, etc., du prémier membré les valeurs successives de ee' (113), et aux vn, vn+, etc. du second membre, celles de ef, qui désignent le nombre de veuves existantes à la fin de chaque année.

127. Ces exposés sommaires n'ayant pour but que de faire connaître les relations des diverses manières de combiner l'intérêt de l'argent avec les chances de la mortalité, et les moyens qu'on peut employer pour résoudre les questions qui s'y rapportent, je renvoie aux auteurs qui en ont traité particulièrement, et à la tête desquels il faut placer Euler, pour son ouvrage sur les Caisses des veuves; mais je ne dois pas omettre de faire observer que si, dans les emprunts, l'équité exige qu'on rende aux prêteurs tout ce que leur assigne la formule de l'espérance mathématique, il n'en saurait être de même dans les caissés établies pour les épargnes, les secours, etc. Celles-ci ont des frais d'administration qui doivent être supportés par tous les membres de l'association. De plus, tant que l'association est peu nombreuse, la caisse doit prendre quelqu'avan.

tage, afin de parvenir à former un fonds qui puisse parer aux irrégularités que la succession des événemens présente par intervalles, ou bien elle risquerait de se trouver hors d'état de remplir les conditions qu'elle s'est imposées. Elle donnera donc un intérêt moins fort que le taux ordinaire, ou fera une retenue sur les sommes payées par les sociétaires. La réunion de ces bénéfices, multipliés par les probabilités qui leur correspondent, compose l'avantage du banquier, comme pour la loterie et les jeux; mais sa détermination exige encore qu'on distingue le cas où la caissé n'emploie à faire son service que les fonds qu'elle a reçus, et celui où le banquier a entrepris, à ses risques et périls, de faire ce service sur ses propres fonds, au moyen du bénéfice qu'on lui alloue.

128. C'est à ce dernier cas que se rapportent les compagnies qui assurent les marchandises et les vaisseaux, contre les risques de mer ou de guerre; les maisons, contre les incendies; la valeur des récoltes, contre les intempéries des saisons, et en général tous les genres de commerce qui dépendent d'événemens soumis au hasard. Celui qui se livre à de pareilles spéculations doit trouver dans le taux qu'il exige, premièrement une probabilité très-considérable de ne pas entamer ses fonds au-delà d'une certaine limite, afin de pouvoir continuer suffisamment sa spéculation; secondement, une probabilité assez grande d'obtenir un profit au moins égal à l'intérêt que ses capitaux lui auraient rapporté dans un placement qui ne lui eût fait courir aucun danger, plus au salaire auquel lui donne droit le travail qu'exige de lui son entréprise.

Le premier élément à déterminer ici est le risque de perte et la probabilité de succès. Il ne serait pas aisé de dire comment on s'y est pris à l'égard des

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