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Lorsque q=1, on a MN, et les expressions ci-dessus se réduisent à

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c'est-à-dire la Table de mortalité se déduit du
que
nombre de décès partagé suivant les âges, ainsi qu'on
l'a indiqué dans le n° 102.

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112. Quand la loi de la mortalité est connue celle de la population se détermine de même, en remontant aux naissances antérieures à l'époque de P, et réduisant chacun de ces nombres suivant les années écoulées. Si l'on prend 100 pour le terme de la vie, on aura pour les âges

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a,

Lorsque la population est stationnaire, q étant 1, on comme dans le n° 109,

P = N { 1 + v、 + V2• • • • • • + 100}.

En substituant aux quantités 1, V1, V2, V3, etc. la moyenne prise entre les deux qui se suivent immédiatement, savoir,

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1

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la formule ci-dessus se change en

P=N { 1 + v, + ve. + $100 } (*),

.....

qui est la règle indiquée dans le n° 109.

113. Halley paraît être le premier qui ait fait voir

(*) Si la loi de mortalité était exprimée par une formule, comme celle de Lambert (106), on pourrait cesser de s'astreindre à placer tous les décès annuels à la même époque, et supposer que l'extinction des individus se fait d'une manière continue pendant toute la durée de l'année; mais il faudrait substituer des différentielles et des intégrales, aux quantités et aux suites rapportées dans le texte; ainsi qu'on peut le voir dans l'ouvrage publié par M. Duvillard, sous le titre d'Analyse et tableaux de l'influence de la petite vérole sur la mortalité. C'est de la première Table de cet ou vrage qu'ont été extraites celles de l'Annuaire que j'ai citées.

comment on pouvait conclure d'une Table de mortalité, les probabilités de la durée de la coexistence de plusieurs individus, de la durée des mariages, par exemple, connaissant l'âge de chacun des membres de l'association. Son procédé n'est autre que celui de la formation des probabilités composées (16).

Pour en montrer l'application au sujet proposé; cherchons les diverses probabilités relatives à 10 années d'association d'un individu de 25 ans avec un de 20.

Il pourra arriver, ou qu'ils existent encore tous deux au bout des 10 années, ou qu'un seul vive, ou que tous deux soient morts. La Table de mortalité de l'Annuaire, réduite sur le pied de 1000 naissances, donne pour vivre 10 ans, à partir de 25 ans,'

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471'502'

67 438

471 502' que le plus âgé sera mort;
404 64

471 502' que le plus jeune sera mort;
67 64

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que tous deux seront morts.

En général, si e et e' désignent les probabilités de l'existence de chaque individu au terme de l'asso

L

ciation, ƒ et f' les probabilités contraires, le développement de

(e +ƒ)(e' +ƒ') = ee′ + e'ƒ + ef" +ƒƒ' =1; donnera

ee', ef, ef', ff'

pour les quatre probabilités énoncées ci-dessus. Quand on cherche seulement la probabilité que l'un quelconque des deux individus existera encore on a

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ee' + e'ƒ + ef' = 1
= 1-ff',

ce qui est plus simple lorsque les nombres fet f' sont
les plus petits.

114. Avec ces probabilités, on peut dresser la Table de mortalité particulière à chaque association; si l'on en suppose, par exemple, 100o formées à-la-fois, et que les probabilités simples e, e, f, f', se rapportent à la première année écoulée depuis, il y aura à la fin de cette année

1000 ee associations qui subsisteront encore,

1000 e'f

1000 ef'

1000 ff'

où le plus jeune survivra,
où le plus âgé survivra,
où tous deux seront morts.

Calculant les mêmes nombres pour chaque année, on
formera une Table pareille à celle que M. Duvillard
a construite pour les mariages, sur les registres de la
ville de Genève (*), et à l'aide de laquelle on déter-
minera la durée probable et la durée moyenne de l'as-
sociation, comme la vie probable et la vie moyenne,
par la Table de mortalité des individus (104 et 107).
Pour donner plus d'exactitude à sa Table des ma-

(*) Recherches sur les Emprunts, pag. 6o.

riages, M. Duvillard a prís e et f suivant la loi de mortalité particulière aux hommes, e' et f' suivant celle des femmes ; mais ce soin, auquel il s'est borné, faute de pouvoir faire mieux, laisse encore quelqu'incertitude, car dans les Tables ordinaires de mortalité, les décès des individus mariés sont confondus avec ceux des célibataires, et il y a lieu de présumer que l'ordre de mortalité n'est pas le même pour ces deux classes: il faudrait donc les séparer. Des Tables construites d'après des observations faites immédiatement sur les mariages, mériteraient la préférence sur les nombres conclus par le procédé indiqué ci-dessus, et dispenseraient en outre de tout le calcul qu'il faut faire pour obtenir ces derniers. Voilà un exemple très-frappant et très-simple de ce que j'ai annoncé dans le n° 1q1, sur l'avantage des observations directes. Tant qu'on n'a connu dans chaque lieu qu'une loi générale de la mortalité, il a fallu supposer qu'elle convenait à peu près aux deux sexes; a-t-on fait la distinction des sexes, il a fallu supposer encore que la mortalité des personnes mariées différait peu de celle des célibataires mais l'observation particulière de la durée des mariages et de leur dissolution, dispense de toute hypothèse, en donnant immédiatement les probabilités dont on a besoin.

115. Les recherches sur les probabilités de la vie humaine ont trouvé une application bien importante, dans les disputes qui se sont élevées sur l'inoculation de la petite vérole. Il y avait à résoudre deux questions décisives premièrement, il fallait montrer combien l'inoculation conserverait d'individus, afin de faire connaître de quelle utilité elle pouvait être à la société ; et considérant ensuite le sujet sous le rapport de l'in térêt personnel, il fallait balancer le danger que cette

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