ché à obtenir celle des courbes de mortalité, en liant, par une formule algébrique, tous les nombres insérés dans une Table de mortalité. Lambert a trouvé que l'équation y= 10000 96- 2 6176 {e ̄31,682__ ̧ ̄2,43114} représentait très-bien la Table construite sur les registres de Londres; et, par analogie, M. Duvillard a proposé d'employer en général l'équation dans laquelle y désigne le nombre des individus de l'âge x, N le nombre total des naissances, t l'âge le plus avancé de la Table, e la base des logarithmes népériens, m, k et n des constantes qu'on détermine pour chaque Table en particulier (*). C'est dans les premières années que la marche des Tables paraît plus irrégulière; mais bientôt le nombre annuel des morts devient constant, pendant un intervalle de tems plus ou moins considérable. La Table de Breslaw, par exemple, donne 6 décès par an, depuis 12 ans jusqu'à 22, 7 de 22 à 29, etc., et pourrait ainsi se partager en progressions par différences. Moivre a trouvé que, sans trop s'écarter de la vérité, on pouvait n'établir qu'une seule progression depuis l'âge de 22 ans jusqu'à celui de 86, auquel il a placé le dernier terme de la vie, regardant les âges plus avancés comme des cas trop rares, pour qu'il soit nécessaire d'en tenir compte, Cette progression, ayant pour différence l'unité et se réduisant à zéro à 86 ans, donne pour les âges (*) Voyez les Beytrage, etc. de Lambert, t. III, pag. 483, et les Recherches sur les Emprunts, par M. Duvillard, pag. 8, note. précédens un nombre d'individus égal à l'excès de 86 ans sur chacun de ces âges, excès que Moivre appelle complément de vie. A l'âge de 50 ans, par exemple, le nombre des vivans est 36, la probabi+ cette loi résulte la formule très-simple y=86-x (*). 107. Après avoir considéré les questions qui se résolvent presqu'à vue, au moyen des Tables de mortalité, je passe à celles qui demandent plus de calcul. La première dont je m'occuperai est la recherche de la vie moyenne. L'idée paraît en être venue d'abord à Nicolas Bernoulli, en appliquant à la durée de la vie, la formule de l'espérance mathématique, admise pour l'évaluation pécuniaire des hasards (60 et 65) (**). Puisque chaque individu pris en particulier peut se flatter de parvenir à l'âge le plus avancé, l'espérance qu'il a sur toutes les années qui doivent s'écouler jusqu'à cet âge, se mesurera en multipliant leur nombre par la probabilité d'y arriver. Je prendrai un exemple dans la Table dressée par Deparcieux. On y trouve qu'aux âges de 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95 individus; et à cause que les décès ont lieu à diverses époques de l'année, on prend le milieu de l'année pour leur époque commune. Dans cette hypothèse, la différence 7 entre les nombres d'individus existans à 87 et. à 88 ans, indiquant ceux qui sont morts dans (*) Voyez le Treatise of annuities, qui suit la Doctrine of chances. (**) Actorum ́eruditorum supplementa, t. IV, pag. 159. cette année, ne leur assigne que 6 mois ou une année de vie; et en continuant sur ce pied, on trouyera qu'aux durées 1 3 5 7 9 11 13 15 années, répondent 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1 individus. Cela posé, l'un quelconque des 29 individus de l'âge de 87 ans pouvant se trouver dans l'un quelconque des groupes ci-dessus, aura pour atteindre les durées correspondantes, les probabilités 7 6 5 1 29' 29' 29' 29' 29' 29 29 29 `multipliant donc ces fractions par les durées corres pondantes, et ajoutant les produits, on aura 155 2.29 2 ans 8 mois, pour l'espérance de vie, à l'âge de 87 ans. La partie de l'opération ci-dessus, dans laquelle on multiplie d'abord les nombres 7, 6, etc. par les frac duits, revient évidemment à calculer la durée collec tive de l'existence des individus de chaque groupe; 155 2 et en divisant le résultat par le nombre 29 des individus, on répartit également cette durée à chacun. Si l'on substitue aux nombres 7, 6, etc., les expressions équivalentes 29—22, 22—16, etc., et qu'on ne fasse qu'indiquer les multiplications, par les du1 3 etc., la somme des produits sera repré rées -- sentée par 2 3 (29—22) + (22—16) + 5 (16—11). ce qui se réduit aisément à 1 29 +22+ 16 + 11+7+4+3+2+1 2 et il ne reste plus qu'à diviser par 29 la somme des termes, à partir de 22, nombre d'individus correspondant à 88 ans, puis ajouter au quotient. Cette règle, indiquée par Deparcieux, est générale, ensorte que si a, a′, a", a", a"" désignent les nombres d'individus vivans à des âges consécutifs (a"" étant le dernier de la Table), la vie moyenne, à partir de l'àge correspondant au premier nombre a, et V', à partir de l'âge a', on aura tirant de la seconde expression la valeur de a"+a"+a"", pour la substituer dans la première, il viendra formule qui, faisant trouver aisément par ′, serait commode pour calculer les vies moyennes correspondantes aux divers âges, en commençant par le plus avancé (*). (*) La formule ci-dessus est tirée de la Théorie analytique des Probabilités, pag. 411. 108. C'est par la durée de la vie moyenne que l'on compare, sous le rapport de la vitalité, les âges, les lieux et les époques. En France, suivant la Table de l'Annuaire, on trouve pour cette durée, à partir de la naissance, 28 ans 9 mois; à Londres, 17 ans 11 mois; à Vienne, 15 ans 9 mois ; à Berlin, 17 ans 1 mois; et en Suisse, 37 ans 1 mois. Les sexes offrent aussi à cet égard une différence assez considérable. M. Mourgues a trouvé, d'après 21 ans d'observations, qu'à Montpellier, la vie moyenne, à partir de la naissance, était de 26 ans 3 mois et 20 jours, 'en prenant collectivement les deux sexes; mais qu'en les distinguant, celle des hommes était de 24 ans 3 mois et 15 jours, et celle des femmes, de 28 ans 3 mois et 28 jours (*). Ce n'est qu'après avoir passé les dangers de la première enfance, qu'on arrive à la plus longue espérance de vie. L'âge auquel correspond cette espérance, ou à partir duquel la vie moyenne a la plus grande durée varie suivant les lieux, et indique ainsi l'époque de la vie que le pays, ou les autres circonstances caractéristiques de la Table favorisent le plus. En France, la Table de l'Annuaire donne, pour ce maximum, 43 ans 5 mois, et le place à 5 ans ; celui de la vie probable y est de 45 ans 8 mois, et se trouve 1 an plus tôt. Les observations sur la mortalité ne remontent pas assez haut pour qu'on puisse comparer les tems un peu anciens avec le tems présent. Il paraît cependant probable que les progrès des arts et des sciences, en multipliant les commodités de la vie, en ont augmenté la (*) Mémoires présentés à la première Classe de l'Institut, par des Savans étrangers, t. Ier, pag. 71–72, |