solue de l'une de ces hypothèses qu'on se propose de déterminer, mais les probabilités relatives, ce qui est très-facile, puisque si on désigne par une autre hypothèse, on aura, suivant ce qui a été dit dans le n° 13, pour la probabilité de la première hypothèse par rapport à la seconde,

ux (1-x)"

́ax" (1—x)"+ax'" (1—x')"

expression où « disparaît.

x(1-x)" xTM(1—x)"+xTM(1—x′)"♪

La valeur de cette expression dépend de celle des rapports x et x'; et en la mettant sous la forme

on verra qu'elle approche d'autant plus de l'unité, que (1-x)" surpasse xm(1-x)" : elle atteindra donc la plus grande valeur dont elle soit susceptible, si, parmi tous les termes de la suite

aTM (1—α)", (2a)(1-2α)", etc.,

on prend le moindre pour "(1-x)", et le plus considérable pour "(1-x)". Le premier ne peut jamais être nul, tant que l'un des nombres nul. Quant au plus grand terme, on

calcul différentiel qu'il répond à x=

m,

n n'est pas

trouve par le

m

c'est

m+ n

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à-dire que cette valeur, d'où il suit 1 —x=

m

m+ n

rend le produit (1-x)" plus grand que toute autre valeur qu'on voudrait assigner à x. Ce résultat

est bien remarquable, puisqu'il nous apprend que la plus probable de toutes ces hypothèses est celle où les probabilités simples des événemens A et B sont égales au rapport du nombre de fois que chacun de ces événemens est arrivé, avec leur nombre total : il rentre d'ailleurs dans la proposition du n° 27, quoiqu'il soit appuyé sur des considérations beaucoup plus générales.

93. Cette même hypothèse, outre qu'elle jouit de la plus grande probabilité relative, peut encore être regardée comme s'approchant sans cesse de la véritable probabilité, à mesure que le nombre des observations devient plus considérable, c'est-à-dire qu'en assignant à ce nombre une augmentation convenable, on peut obtenir une probabilité aussi voisine de l'unité qu'on voudra, que la véritable valeur de x sera comprise entre

la quantité e étant aussi petite qu'on voudra. L'expression de cette probabilité, se composant de la somme des probabilités correspondantes aux diverses valeurs que l'on peut assigner à x entre les limites indiquées ci-dessus, sera évidemment

mais comme on y suppose que m et n sont de très

grands nombres, il faut, pour en trouver la valeur; faire usage des formules approximatives et du calcul intégral (Voyez note III.); c'est pourquoi la démons→ tration de la proposition énoncée au commencement de cet article ne saurait trouver place ici; je ferai seulement remarquer que cette proposition est analogue à celle du n° 28, et appuie sur les considérations trèsgénérales qui servent à la détermination des probabilités à posteriori, le théorème fondamental que Jacques Bernoulli n'avait prouvé que dans l'ordre des probabilités déterminées à priori.

94. On voit aussi, par ce qui précède, que si la probabilité d'une hypothèse en particulier, est inassignable, celle d'un ensemble d'hypothèses comprises entre des limites dont la différence est finie, a une valeur finie, puisque telle est celle de l'expression

mn)

s(m, n)

dans tous les cas où b- a est une quantité finie: cette remarque est bien importante. Quand, par exemple, on observe une supériorité constante dans le nombre de fois qu'un événement se montre, sur le nombre de fois où se montre l'événement contraire, on est porté à croire que la production du premier est d'une facilité plus grande que celle du second, ou qu'il y a une cause qui détermine plutôt l'une que l'autre, ou enfin, ce qui est encore la même chose, que la probabilité simple du premier événement surpasse. Mais cette croyance, qui n'est d'abord qu'un simple aperçu, se fortifiant à mesure que les événemens se reproduisent dans le même ordre de fréquence, est susceptible d'être appréciée, en déterminant, d'après le nombre des ob

servations, la probabilité que la valeur de x est comprise entreet 1; ce qui se fait par le moyen de l'expression

95. Ces formules ont une application très-curieuse, par rapport aux naissances. Arbuthnot ayant remarqué sur les listes des naissances arrivées à Londres depuis 1629 jusqu'à 1710, que le nombre de celles des garçons s'écartait peu du nombre de celles des filles, et pensant apparemment qu'il ne pouvait pas exister de loi primordiale qui maintînt ces nombres entre des limites peu différentes de l'égalité, voulut voir dans cette prétendue égalité un miracle continuel. Nicolas Bernoulli, au contraire, frappé des différences assez sensibles qui se trouvaient entre ces nombres, et de ce qu'il y avait toujours plus de garçons que de filles, y vit avec raison l'indice d'une plus grande possibilité dans la naissance des enfans du sexe masculin que dans celle des enfans de l'autre sexe, le rapport du nombre des unes au nombre des autres étant 1 (*). Pour le prouver, il montra qu'en supposant un dé à 35 faces 18 noires et 17 blanches, jeté 14000 fois, il y aurait une probabilité supérieure à 45, que le nombre des faces noires amenées ne s'écarterait pas au-delà de 163, soit en plus, soit en moins, du nombre 7200, égal aux de celui des jets ; il n'était donc pas surprenant que sur 14000 naissances, le nombre de celles de chaque sexe ne différât pas davantage de la proportion assignée par la probabilité simple, savoir, 7200 garçons et 6800 filles. Le fait s'étant soutenu, a été constaté de nouveau dans la

(*) Analyse des Jeux de hasard, par Montmort, pag. 388.

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plupart des états de l'Europe. Daniel Bernoulli s'en est occupé (*), et enfin M. Laplace l'a traité par les formules directes, celles de l'article précédent.

De 1745 à 1784, les registres des naissances de Paris donnent 393386 garçons, 377555 filles, nombres dont le rapport est à peu près 25, moindre que qu'on trouve par les registres de Londres, depuis 1664 jusqu'à 1758 inclusivement, et que a donné par ceux du royaume de Naples (non compris la Sicile), depuis 1774 jusqu'à 1781 inclusivement aussi. Cependant, par les deux premiers nombres, les formules approximatives ont donné à M. Laplace, pour la probabilité que x surpasse, l'unité moins une fraction dans laquelle l'unité est divisée par un nombre de 72 chiffres (**). Un petit excès dans le nombre des répétitions d'un événement, sur celui des répétitions de l'événement contradictoire, a donc suffi, par sa cons→ tance, pour faire croître avec une immense rapidité la probabilité qui assigne une facilité plus grande au premier qu'au second; et plus les observations se multiplieront, en conservant les mêmes relations de grandeur, plus cette probabilité augmentera.

96. La formule du n° 93 se simplifie beaucoup lorsqu'il n'est arrivé que des événemens d'une seule

(*) Novi Comment. Acad. Petrop., t. XIV, pars 1a, et t. XV. (**) Théorie analytique des Probabilités, p. 379.