de l'expression du n° 86, à partir de celui qui est af

Quoique M. Laplace ait déterminé assez simplement la valeur approchée de cette somme, il n'en donne point le calcul numérique; en effet, on sent assez dès à présent, et on en sera tout-à-fait convaincu dans la suite, qu'un pareil examen, devant être répété pour tous les âges, et sur des Tables très-multipliées, est à peu près impraticable, et que c'est principalement la finesse des artifices de calcul qu'il exige qui en constitue le mérite, comme de la plus grande partie des recherches de ce genre.

go. La seconde question dont je rapporterai l'énoncé et les résultats, a eu une application effective. Dès qu'on s'est aperçu du peu de variation qu'offraient le nombre des naissances et celui des décès, dans une population dont la marche n'était point troublée par les fléaux naturels ou politiques, on a cherché à déterminer les rapports de ces nombres avec le total de la population, en faisant le relevé des naissances et des morts, dans diverses parties du même état, et pour plusieurs années, en même tems qu'on se procurerait un dénombrement exact de la population de ces parties. Le rapport moyen, obtenu ainsi, a paru propre à faire connaître la population de l'état entier, d'une nianière à la fois plus prompte et plus sûre qu'un dénombrement total des habitans, qui entraîne toujours

de grandes longueurs et souvent de grandes difficultés, dans l'exécution. Cette idée, mise au jour d'abord par Moheau, a été suivie avec assiduité pendant 6 années, par Duséjour, Condorcet et M. Laplace (*). Ils s'étaient proposé d'appliquer successivement leurs calculs à cha-. cune des 182 feuilles de la Carte de la France, par Cassini: ce travail s'étendait à 149 feuilles, lorsqu'il a été suspendu. La révolution devait en avoir changé les élémens; c'est pourquoi M. Laplace l'a recommencé en 1799. Le gouvernement, a ordonné, en conséquence de faire avec soin, dans 30 départemens choisis parmi tous ceux qui composaient alors la France, le relevé exact des naissances, mariages et décès, depuis l'an 8 ju-qu'à l'an 11 (du 22. septembre 1799, au 22 sep-. tembre 1802); il en est résulté:

et pour le montant de la population de ces mêmes. départemens, à la seconde époque, 2 037 615 individus. Par ces nombres, les naissances des garçons sont à celles des filles dans le rapport de 22 à 21; les mariages aux naissances, dans celui de 3 à 14; enfin, celui de la population aux naissances annuelles, est de 28,353 environ à 1, ce qui portait à 42 500 000 le nombre des habitans du territoire soumis alors au gouvernement français, et où le nombre des naissances annuelles s'élevait environ à 1 500 000 (**). M. Laplace voulant ensuite se rendre compte de la précision qu'il devait

(*) Voyez les Recherches sur la pópulation de la France, par Moheau, et les Mémoires de l'Académie des Sciences, années 1784-1789.

(**) Théorie analytique des Probabilités, pag. 391.

attendre de tous ces soins, a cherché la probabilité, que cette évaluation ne serait pas en erreur de 500 000: voici la traduction de l'énoncé de ce problème, au moyen des formules analytiques.

En représentant par m+n le nombre des individus. compris dans le premier dénombrement, par n celui des naissances annuelles, qui est le de la somme des naissances des deux sexes, rapportées plus haut, pour 3 années; par q, le nombre des naissances dans toute l'étendue (m + n)q

du territoire de la France, p

n

exprimera la population de ce territoire, en y comprenant le nombre q de naissances; et par conséquent

Si donc on forme une suite de termes semblables au précédent, en donnant au premier exposant toutes les

'm+

valeurs comprises entre m+ (" + ") q

m + (m + n).

n

n

q-q-z, le second exposant demeurant

toujours n+q, la somme de ces termes sera la probabilité. le dénombrement total conclu des naissances ne s'é

que

cartera pas du véritable au-delà du nombre z, soit en plus, soit en moins (*). En faisant z=500 000, les formules

(*) Les dénominations employées par M. Laplace sont un peu différentes de celles-ci: m+ n répond à p, n à q, q à q'; x doit être changé en 1 — x, et réciproquement. M. Laplace ne détermine pas immédiatement la probabilité indiquée ci-dessus, mais sa contraire, en prenant z depuis 500000 jusqu'à l'infini,

approximatives de M. Laplace lui donnent

1161

1162 pour la valeur de cette probabilité; et en portant z à 700 000, la contraire de cetie même probabilité serait insensible.

91. Dans tout ce qui précède, on a supposé que, pour la même hypothèse, la probabilité simple demeurait constante, c'est-à-dire qu'on remettait chaque fois dans l'urne la boule qui en était sortie. Cette supposition paraît applicable à la plupart des événemens naturels, parce qu'on regarde leurs causes comme agissant toujours de la même manière, ou le rapport des nombres de chances également possibles comme constant. Condorcet, cependant, ne s'est pas restreint à ces considérations; il a fait l'énumération des hypothèses que comporte le sujet, et les a soumises à une discussion approfondie (*). Il en distingue trois,

1o. celle où la probabilité est constante, où l'on "suppose chaque événement (simple) également pro» bable, ou du moins la probabilité moyenne pour » chacun, déterminée d'une manière semblable (c'est » celle dont nous sommes occupés); 2°. celle où l'on "suppose cette probabilité variable, mais indépen» dante du tems où les événemens sont arrivés, et de » l'ordre dans lequel ils ont été observés ; 3°. celle » où on les suppose dépendans, ou plutôt pouvant » dépendre de cet ordre. »

La troisième hypothèse, comme la plus générale, devrait être employée le plus souvent; car c'est un principe fondamental dans le calcul des probabilités, de prendre en considération tout ce qui n'est pas reconnu impossible. Or, ne peut-il pas arriver que les

(*) Mémoires de l'Académie des Sciences, 1783, pag. 539.

forces qui produisent certains événemens se modifient ou s'altèrent, et que par cette raison leur possibilité devienne plus grande ou moindre? Que s'ils résultent d'un développement successif, l'ordre de leur production, l'époque'à laquelle ils paraissent, influent sur cette possibilité? Tant que ces suppositions ne seront pas formellement écartées par des lois positives bien constatées, les probabilités déduites de la première hypothèse ne pourront s'étendre qu'à un tems limité et devront être calculées souvent sur de nouvelles observations. On sent bien que les formules relatives aux dernières hypothèses sont hors des bornes prescrites à un traité élémentaire; je renverrai donc, pour ce sujet, le lecteur au Mémoire cité dans la note, et à la 3o partie de l'Essai sur la probabilité des décisions, etc.

Détermination de la probabilité des causes (ou des hypothèses) par les observations.

92. Lorsque l'on regarde comme possibles, dans la probabilité des événemens, tous les rapports compris entre o et 1, la probabilité de l'hypothèse correspondante à x est exprimée par

Cette fraction, dont le dénominateur a pour limite la quantité finie S(m, n) (82), est d'autant plus petite que a est moindre, et que par conséquent le nombre des hypothèses établies est plus considérable. Si donc on suppose ce dernier nombre infini, a sera infiniment petit, et chaque hypothèse n'aura qu'une probabilité infiniment petite: aussi n'est-ce point la probabilité ab