inclusivement, donnera la probabilité qu'il n'arrivera pas moins de p-q événemens A, et pas plus de q évé→ nemens B. = Quand no et q=0, S(m,n) devient S(m)__ 1 m+1 et la formule précédente se réduit au seul terme (83), c'est la probabilité qu'on aura p de fois de suite l'événement A, lorsqu'il a été observé m fois sans interruption. Si on partage le nombre p en parties proportion nelles aux nombres m et n, savoir et mp np m+ n m+n la somme des termes de la suite précédente, à partir de celui qui est affecté de exprimera la probabilité que sur p renouvellemens du même hasard, le nombre des événemens A ne s'écartera pas en plus ou en moins, du nombre proportionnel au-delà de zr à mi, 87. Avant de passer aux applications, je dois encore montrer, comme je l'ai annoncé en commençant cette Section, que les probabilités déterminées à posteriori sont une sorte de probabilités moyennes : cela suit en effet de la manière de les obtenir, et jette un nouveau jour sur leur nature. L'expression Cx"(1-x)” (82) étant la probabilité d'amener m événemens A et n événemens B, lorsque leurs probabilités simples sont x et 1−x, la somme de ses valeurs calculées dans toutes les hypothèses possibles, divisée par leur nombre, en donnera la valeur moyenne (Traité élémentaire d'Arithmétique, règle d'alliage). Mais, faire la division d'une somme de quantités, c'est la même chose que de diviser séparément chacune de ces quantités, et d'ajouter ensuite les quotiens; et quand on divise l'unité en parties égales à «, le nombre de ces parties est évi l'expression CS(",") peut donc être regardée comme celle d'une valeur moyenne prise entre les diverses probabilités qu'aurait, dans toutes les hypothèses possibles, l'événement composé qui a eu lieu. Toutes les expressions subséquentes se déduisent également de ce point de vue. S'agit-il de la probabilité d'obtenir un nouvel événement A? La probabilité de l'événement composé de celui-ci et du précédent, étant Cx(1-x)".x Cxm+1(1-x)", dans l'hypothèse correspondante à x, aura pour valeur moyenne déduite de toutes les hypothèses, la limite de la série dont le terme général est = C m+) ‚xTM+1 ( 1 — x )” = Cux+1(1-x)", c'est-à-dire CS(m+,n). Cette dernière probabilité doit aussi, suivant le principe des probabilités composées (17), se former en multipliant celle de l'événement composé qui a eu lieu, par celle d'obtenir un événement A de plus; celle-ci est donc égale au quotient de la première divisée par la seconde, ce qui donne comme on l'a trouvé dans le n° 84. Les mêmes considérations donneraient, pour l'arrivée d'un nouvel événement B, la probabilité La somme de ces deux probabilités égale un comme cela doit être; car pour faire la somme de deux suites de termes, on peut commencer par ajouter les termes qui se correspondent dans chacune, et prendre la somme des termes de la nouvelle suite formée par ces additions; on aura donc ainsi ax2+(1-x)" + a.x" (1-x)"+1 = et passant aux limites des séries ajoutées et à celle 88. On étendrait sans peine ces considérations aux formules générales des nos 85 et 86. La somme des termes dont se compose la dernière, qui embrasse tous les événemens possibles dans p renouvellemens du même hasard, doit être égale à l'unité, comme celle des termes du développement de (e+ƒ)”. Il n'est pas difficile non plus de voir que toute cette théorie revient à prendre la probabilité moyenne de l'événement composé qui a eu lieu, pour l'unité à laquelle on compare les probabilités qui résultent des combinaisons de celui-ci avec les événemens futurs. On peut donc envisager aussi ces probabilités comme relatives à la première. De là vient qu'elles ne sont pas toujours les mêmes pour les mêmes combinaisons d'événemens futurs, ce qui n'arrive pas aux probabilités déterminées à priori (22). En effet, la formule du n° 85 change de valeur avec m et n, quoique p et q demeurent les mêmes; et puisque de nouveaux événemens observés modifient cette valeur, il s'ensuit évidemment qu'on ne doit pas étendre bien loin les conséquences que l'on en tire. La probabilité que, dans la succession des événemens futurs, A et B se répéteront suivant des rapports approchans de ceux qui ont été observés antérieurement (86), n'augmente pas sans cesse, comme par les probabilités déterminées à priori (28). Pour tirer de ces formules des résultats utiles, il faut toujours que le nombre p des événemens futurs soit fort petit à l'égard du nombre mn des événemens passés, et aussi que ce dernier soit très-considérable en lui-même, afin qu'il ne suffise pas de quelques nouvelles observations pour changer sensiblement les résultats déduits des précédentes. Avec ces restrictions, et pour des recherches dont la nature ne saurait exiger, ni même admettre il faut le dire, une précision rigoureuse, on pourra presque toujours substituer aux formules de cette section celles de la première, ce qui est fort heureux car les calculs, déjà très-longs par celles-ci, seraientle plus souvent impraticables par les autres, sans le secours des formules approximatives citées au no 25; aussi ne ferai je qu'indiquer quelques-unes des questions curieuses que M. Laplace a résolues sur cette matière. 89. Premièrement, il a donné l'expression approchée de la probabilité des résultats fournis par les Tables de mortalité, lorsqu'on connaît le nombre d'observations sur lequel elles ont été construites. Ces Tables, dont j'exposerai plus loin la formation, font connaître combien, sur un nombre d'individus nés en même tems, il en reste à un âge donné. Soit m+n le premier nombre et m le second; lorsqu'on veut étendre les conséquences de ces observations à un nombre p d'enfans, on le divise en parties proportionnelles aux nombres m et n, ce qui donne pour celui des survivans, et pn pm m + n pour celui des morts. Alors pour appré cier la confiance que méritent ces résultats, il faut chercher les probabilités que l'erreur dont ils peuvent être susceptibles est renfermée dans des limites assez étroites, ce qui se fait en calculant la somme des termes |