En la multipliant par x (81), on en déduira la proba bilité d'obtenir un événement A de plus, as d'où l'on tirera ce qui convient à chaque hypothèse en particulier, en y mettant successivement, 2α 3a, etc. à la place de x; la limite de la somme de leur du numérateur se déduira de celle de Sm,"), par le changement de m en m+1. En substituant n(n-1)(n-2)......1 après la suppression des facteurs communs m+n+2' au divi Si l'on demandait la probabilité de l'arrivée d'un nouvel événement B, la probabilité particulière de cet événement, dans l'hypothèse correspondante à x, étant (1-x), on aurait les expressions aurait, suivant l'usage commun, les expressions m m+n' 72 formées en divisant le nombre de fois que chaque m+n événement a paru, par le nombre total des événemens observés, et qui ne s'accordent avec les précédentes que lorsque m=n, auquel cas les quatre fractions ci-dessus deviennent dans toute autre circonstance, la première évaluation diffère de la seconde. Si, par exemple, m= =3 et n=2, l'une donne et, l'autre et ; mais ce qu'il faut bien remarquer, c'est que l'évalua– tion rigoureuse s'approche sans cesse de l'autre. Cela se voit en divisant par m+n les deux termes des premières probabilités; elles prennent alors les formes étant positive lorsque m>n, montre que celui des deux événemens qui est arrivé le plus souvent augmente sans cesse de probabilité lorsque les nombres m et n conservent la même subordination dans leurs accroissemens. Le contraire a lieu quand m<n. Ces changemens sont remarquables parce qu'ils sont produits par la seule répétition des faits; ainsi la théorie des probabilités à posteriori s'accorde bien avec celle de Ber noulli sur les épreuves successives (28), puisqu'il résulte de l'une comme de l'autre, que le rapport du nombre des événemens A ou B, au nombre total des événemens observés, a pour limite leur probabilité simple. 85. La probabilité que sur un nombre p de renouvellemens du même hasard, il arrivera un nombre p-q d'événemens 4, et un nombre q d'événemens B, s'obeq tient aussi sans difficulté, par les principes exposés précédemment. Dans l'hypothèse correspondante à x, la probabilité de cet événement composé est exprimée par x3-9(1—x)2, si la succession des événemens simples est déterminée, et par p(p-1)...(p-q+1) 1.2. ....q x-(1-x)=CxP-9 (1-x), dans le cas contraire (20). Cette probabilité étant mul prenant la limite de la somme, depuis xo jusqu'à x1, et faisant abstraction du coefficient C', qui est indépendant de x, il viendra (n+q)(n+g-1)....... (m+pq+1)(m+p-q+2)... (in+n+p+1) ..(m+n+1) ̧.· n(n-1)........1 X expression que l'on peut simplifier par la suppression des facteurs depuis n jusqu'à 1, qui multiplient et qui divisent en même tems, ce qui donnera (n+q)(n+q—1)... ... ... ... ... ... ....(n+1) Lorsque n>p-q, on peut encore supprimer de même les facteurs depuis m+p-q+1 jusqu'à m+n+ inclusivement, et la formule ci-dessus devient (m+1)(m+2)... (m+p−q)(n+1)(n+2).....(n+q) (m+n+2)(m+n+3)...(m+n+p+1) Si l'on prend, pour exemple, p=3, q=1, l'expression précédente donnera la probabilité de l'événement composé AAB, égale à (m+1)(m+2)(n+1) et si l'on divise par m+n chacun des facteurs du numérateur et du dénominateur de cette fraction, on reconnaîtra aisément qu'elle tend sans cesse vers... m2n .... (m+n)3› probabilité composée qui résulterait des pro babilités simples m n (21). La même cir> m+n m+ n constance a lieu pour l'expression générale, et se prouve en développant cette expression avec le secours des formules qui servent à calculer par approximation les produits formés d'un grand nombre de facteurs : on trouve alors que si les nombres m et n sont très-grands par rapport aux nombres p et q., elle a pour limite (Voyez la note I). mp-9n9 (m+n)P Ainsi, plus le nombre des événemens observés augmente, moins les probabilités, sóit simples, soit composées, déduites des formules précédentes, diffèrent des probabilités déterminées à priori, ou plus les rapports donnés par la succession des événemens représentent avec exactitude les probabilités simples. La possibilité de prendre les uns pour les autres s'est offerte si naturellement à ceux qui les premiers ont médité sur ce sujet, qu'ils l'ont regardée comme évidente par ellemême; mais on ne pouvait s'en rendre compte sans le secours du calcul, qui montre qu'au lieu de l'égalité conjecturée, il y a une approximation continuelle et de plus en plus rapide. 86. Au moyen de la formule que nous venons de construire, on réunit dans une expression toutes les probabilités des événemens composés, auquels peut donner lieu un nombre p de renouvellemens du même hasard; il suffit pour cela de faire successivement 9=0,=,= 2, 3, etc. En conservant les coefficiens désignés par C', pour laisser indéterminé l'ordre de succession des événemens simples, on formera la suite qui tient ici la place que le développement du binome (e+f)" occupe dans la détermination à priori des probabilités pour les épreuves réitérées (22). La somme des termes, depuis le premier jusqu'au terme général |