dans le même état; mais on ne saurait faire que celui d'un homme qui joue soit le même que s'il ne jouait pas.

Si donc la prudence permet de se livrer à des spéculations sur les hasards, ce ne peut être qu'à celles qui par leur nature doivent rapporter au-delà de ce que les probabilités assignent pour l'espérance mathé matique. Alors, suivant l'observation du n° 64, plus l'entreprise est répétée, plus la probabilité du succès augmente. De pareilles spéculations, dans les jeux proprement dits, blessent les lois de la probité; et si des considérations particulières permettent aux Gouvernemens de les tolérer, l'opinion publique, plus sévère, doit les flétrir: mais il en est tout autrement des spéculations de commerce, des assurances et de toutes les entreprises où le bénéfice est acquis commé salaire d'un travail utile, et en échange de valeurs réelles.

SECTION SECONDE.

Détermination de la probabilité à posteriori, c'est-à-dire lorsque le nombre total des chances est illimité et que ses rapports avec le nombre des chances de chaque espèce, sont inassignables.

80. QUAND

on ne connaît point la forme du dé, ou la condition de l'urne qui produit les événemens observés, il faut, pour remonter à leur probabilité considérer toutes les formes ou les conditions dont ils peuvent resulter, afin d'en déduire une sorte de probabilité moyenne qui approchera d'autant plus d'être la véritable, que le nombre des observations sera plus grand (40).

Si, par exemple, on a tiré successivement d'une urne 3 boules blanches et 1 noire, en ayant soin de remettre chaque fois la boule sortie, qu'on sache que le nombre total des boules est 4, tant blanches que noires, mais qu'on ignore combien il y en a de chaque sorte, on pourra faire, sur la condition de cette urne, les 3 hypothèses ci-dessous :

3 boules blanches, 1 noire, d'où e =

3

NGNE N

• désignant la probabilité de l'arrivée d'une boule blanche, f celle de l'arrivée d'une boule noire. La probabilité de l'événement composé de la sortie de 3 boules blanches et de 1 boule noire, étant exprimée par 4ef (22), deviendra successivement

27 16 3

64' 64 64

La dernière hypothèse, qui donne la plus petite probabilité pour cet événement composé, est aussi en elle-même beaucoup moins probable que les deux autres hypothèses; car si l'urne ne contenait qu'une seule boule blanche, il faudrait que cette même boule fût sortie trois fois de suite; on conçoit qu'il y aurait moins de difficulté s'il y avait 2 boules blanches, et encore moins s'il y en avait 3. La facilité avec laquelle chaque hypothèse amènerait les événemens observés, donne naturellement la probabilité de cette hypothèse; car plus elle offre de combinaisons favorables à la production de ces événemens, plus on a occasion d'en répéter le jugement de possibilité (5 et 6). C'est ainsi qu'on a posé pour principe que les probabilités des causes (ou des hypothèses) sont proportionnelles aux probabilités que ces causes donnent pour les événemens observés (*),

Dans l'exemple actuel, les probabilités des trois hy-. pothèses établies sont proportionnelles aux nombres. 27, 16, 3; leur somme doit être d'ailleurs égale à

(*) Cet énoncé se trouve dans le tome VI des Savans étrangers, p. 623. Bayes, dans les Transactions philosophiques de 1763 (p. 370), et Price, dans celles de 1764 (p. 296), s'étaient déjà occupés de ce sujet; mais M. Laplace l'a réduit le premier à la forme analytique sous laquelle on le traite maintenant, qui en facilite et en généralise beaucoup les applications,

l'unité, puisque l'une de ces hypothèses a nécessai→ rement lieu (8): il suit donc de là que chacune des probabilités dont il s'agit est égale au nombre qui lui correspond, divisé par la somme des trois nombres, ce qui donne les fractions

On peut dire aussi que sur les combinaisons fournies par l'ensemble des hypothèses, les 27+16+3=46 qui s'accordent avec les événemens arrivés, sont les seules possibles, et que la probabilité de chaque hypothèse se détermine comme celle d'un événement, en divisant le nombre de cas où elle peut avoir lieu, par celui de tous les cas possibles, ce qui donne les mêmes fractions que ci-dessus.

Enfin il faut remarquer encore que ces fractions, ou les probabilités des diverses hypothèses, se forment en divisant la probabilité de l'événement composé, calculée dans chaque hypothèse, par la somme de ses probabilités dans toutes les hypothèses (*).

Il est facile de voir que cette règle est générale ; car si on désigne par h, h', h", h" les probabilités des diverses hypothèses susceptibles d'amener l'événement composé qui a eu lieu, et par a, a, a", a" les pro

(*) En traitant l'exemple ci-dessus, Condorcet, de qui je l'ai emprunté (Elémens du Calcul des Probabilités, p. 65), fait cinq hypothèses, c'est-à-dire toutes celles qui peuvent se présenter quand on n'a pas égard aux événemens observés. En effet, on peut alors supposer que les 4 boules sont blanches, ou qu'elles sont noires; mais comme ni l'une, ni l'autre de ces dernières hypothèses ne saurait amener les événemens observés, elles donnent o pour leur probabilité, ce qui ne change rien au résultat obtenu

ci-dessus.

T représentant a+a+a” +ɑ

81. Quand on a déterminé la probabilité de chaque hypothèse possible, on en déduit facilement la probabilité des événemens qui peuvent arriver aux tirages suivans; dans notre exemple, celles d'amener au 5o tirage une boule blanche ou une boule noire. Il n'est pas difficile de voir que ce problème revient à celui du n° 19, et se résout par les probabilités composées. Les trois hypothèses établies peuvent être considérées comme trois urnes différentes, de l'une desquelles doit nécessairement sortir l'événement attendu. La probabilité de cet événement se composera donc de celle qu'il a dans chaque hypothèse, multipliée par celle de l'hypothèse ainsi on aura pour la sortie d'une boule blanche, au 5e tirage,

et pour celle de la sortie d'une boule noire,

On trouverait de même, pour tout autre exemple,

que la probabilité d'un nouvel événement simple sob