pital x, et par y celle du capital x', nous aurons Supposons maintenant, comme dans le n° 69, que a soit un bien et a une somme éventuelle quelconques ; en posant xa, x' = a + a et xa portance de la somme « sera exprimée par l'im et négative dans le dernier état. Pour déterminer la perte x dont l'importance serait égale à celle du gain, nous poserons Cette valeur est la même que celle qui résulte de l'hypothèse de Buffon, quoique d'ailleurs cette hypothèse fasse croître bien plus rapidement que celle de Bernoulli l'importance des pertes. Ainsi deux hypothèses, fort éloignées l'une de l'autre, satisfont donc aux seules conditions que le sujet impose au premier coup d'œil, savoir, celle de diminuer le prix des sommes éventuelles, à mesure que le bien antérieur est plus considérable, et de donner plus d'importance à la perte qu'au gain. On pourrait trouver une infinité d'autres hypothèses qui en feraient autant; mais celle de Bernoulli paraît la plus plausible, parce qu'elle descend aux élémens mêmes dont se forment les capitaux, et que c'est en effet par les très-petites sommes qu'on peut perdre ou gagner avec indifférence, que le sentiment commun fait apprécier les divers états de fortune. "Il s'embarrasse, dit-on, de perdre un écu, comme » moi de perdre un sou. » C'est comme si on disait : « Un écu est à sa fortune ce qu'un sou est à la mienne.» 72. Aux valeurs absolues des sommes attachées à des événemens incertains, Daniel Bernoulli substitue les valeurs morales, ou l'importance des capitaux résultant des modifications que ces événemens apportent à la fortune du joueur. Si, par exemple, des événemens dont les probabilités sont e, f, g, doivent produire des sommes a, ß, y, et que a désigne le bien antérieur, au lieu de l'espérance mathématique pour la valeur morale de la fortune du joueur qui attend ces événemens. C'est là ce que Bernoulli nomme la mesure du sort (mensura sortis); et ce que M. Laplace appelle fortune morale (*), par opposition à la fortune physique, c'est-à-dire à la valeur absolue du capital ayant une importance équivalente. En désignant ce capital par X, on aura Y=klễ, d'où X= (a + «)o (a + ß)ƒ (a+v)*, a) a à cause que e+f+g=1 (12). Si l'on cherchait l'équivalent du gain ou ce que M. Laplace appelle espérance morale, il faudrait faire X=a+x, ce qui donnerait x = (a + α) (a + ß)ƒ (a + z)§ — a. (*) Théorie analytique des Probabilités p. 433. En développant les puissances et les multiplications indiquées dans le second membre, et se bornant aux termes où les sommes éventuelles a, ß, y ne s'élèvent qu'à la première puissance, on trouvera x=qc+f+8 + ac+f+8¬1 { ea+fß+g¥}—a, ce qui se réduit à x=ea + fß +gy, puisque e+f+g=1, e+f+g-1=0. Ce résultat, le même que l'espérance mathématique, montre que l'espérance morale a sensiblement la même valeur, lorsque les sommes éventuelles sont très-petites par rapport au bien antérieur, conséquence qu'il ne faut pas perdre de vue, et qui suit également de toutes les hypothèses qu'on pourrait faire sur l'importance des sommes éventuelles. Voici les principales applications que Daniel Bernoulli fait de sa formule. 73. Premièrement, il cherche le sort d'un joueur possédant 100 pièces, et ayant la probabilité gner ou d'en perdre 50. Dans ce cas, 1 d'en ga e=, f=1;, g=0, a=100, «=50, ß=—50, 2 il vient X=(100+50)3 ce joueur aurait donc 13 de perte sur son état primitif; elle se réduirait à 6, si l'on faisait a=200. 74. Dans la seconde question, Bernoulli suppose qu'on demande à un négociant une somme de 800 pièces pour lui garantir (ou assurer) le prix de marchandises dont la valeur s'élève à 10000 pièces, et qui, devant étre transportées par mer, seront exposées à un risque de perte dont la probabilité est convient-il à ce négociant d'accepter le marché qu'on lui propose? Pour en juger comparons les valeurs physiques de la fortune de ce négociant, lorsqu'il court les risques du transport, et lorsqu'il accepte la garantie (ou l'assurance) qui lui est offerte. Désignons toujours par a le bien qu'il possède, outre les marchandises énoncées dans la question, et faisons l'expression générale de X donnera, pour le premier cas, (a+10000) a } 20 , et a+9200 pour le second, dans lequel il y a une perte certaine de 800 pièces. Donc, selon que (a+10000) <ou > a+9200, a la garantie proposée donnera un avantage ou un désavantage moral au négociant. De là résulte une détermination de a ou du bien qu'il doit posséder, pour pouvoir rejeter cette assu-. rance, et ce sera la valeur de a qui satisfera à l'équation puisqu'elle est la limite qui sépare l'avantage du désavantage. Cette équation, traitée par rapport à la lettre a, suivant les procédés indiqués pour résoudre par approximation les équations numériques, donnera a = 5043. Tant que le négociant possède moins que cette somme, la formule de Bernoulli lui prescrit de faire assurer ses marchandises. Il n'en est pas de cette formule comme de celle de l'espérance mathématique; les conditions n'y sont pas les mêmes pour chacun des joueurs; aussi pour compléter la solution du problème qui nous occupe, Bernoulli cherche-t-il le bien que doit posséder celui qui offre la garantie (ou l'assureur). En désignant ce bien par b, on trouvera que la valeur physique de la fortune de l'assureur est, par suite de sa spéculation, 19 (b + 8c0)31⁄23 (b — 9200)*; et l'égalant à b, on aura l'équation (b+800)TM3 (b −9200)3 3 = b, qui doit déterminer la valeur de b, au-dessous de laquelle l'assureur aurait tort de se livrer à la spéculation qu'il a entreprise; cette somme est 14243 pièces. Il faudrait qu'il en possédât au moins 29878, pour pouvoir ne demander au négociant que 600 pièces au lieu de 800, les risques demeurant les mêmes; et celui-ci aurait tort de rejeter l'offre, tant que son bien ne s'éleverait pas à 20478 pièces. Ces nombres se déterminent comme les précédens, en substituant seulement 600 à 800. 75. Quand on ne considère que la valeur de l'espérance mathématique, on trouve qu'il est indifférent de risquer une somme dans un seul hasard, ou de la partager entre plusieurs hasards ayant la même probabilité que celui-ci; par exemple, de la placer sur un seul vaisseau, ou de la répartir entre plusieurs, lorsque le risque de perte est le même pour tous ces vaisseaux. En effet, a désignant cette somme, r le nombre des vaisseaux, dont sur m+n, il s'en perd n; toutes les chances de leur arrivée seront comprises dans la formule (m+n)' = m'+', m'~'n+ 1 r(r−1) 1.2 |