Ecrivons dans ces formules sm et sn à la place de m et de n, suivant l'observation du no 33; les limites ci-dessus devenant

se rapporteront à des événemens composés dans lesquels il en entrera au plus rsm+r de l'espèce A avec rsn ―r de l'espèce B, et au moins rsm—r de l'espèce A avec rsn+r de l'espèce B. Dans le premier cas, le joueur qui parie pour A recevra... (rsm+r)b, et donnera (rsn―r)a; la valeur de cet événement composé sera donc

(rsm+r)b — (rsn r)a=rs (mb—na+

Si elle est positive, ce qui arrivera quand

elle exprimera le gain du joueur qui parie pour A, et la perte de celui qui parie pour B.

Dans le second cas, au lieu de la valeur ci-dessus,

on aura

(rsm—r)b— (rsn+r)a—rs (mb—na—a+b),

valeur qui sera négative si

et qui alors exprimera une perte pour le premier joueur, un gain pour le second.

Quand bm

—ano, tout devient égal entr'eux ;

ils ont la même probabilité de ne pas gagner et de ne pas perdre au-delà de la somme

C'est une partie déterminée de la mise totale de chaque joueur; car si on y remplace b par sa valeur

tirée de l'équation

bm — an = 0,

an

m

qui parie pour A étant rsa(m+n)=M, on aura

la somme gagnée ou perdue a donc avec la mise to

tale,

le rapport qui diminue à mesure que s aug

mente.

sm

On trouverait de même, en chassant a au lieu de b,

.....

64. Supposons maintenant que l'équation... bm-ano n'ait pas lieu, mais que l'espérance du second joueur l'emporte sur celle du premier: posons en conséquence, an=bm+c; il en résultera, dans le premier cas,

On voit par ces expressions, que le gain du 1er jouear se change en perte, et la perte du 2o en gain, dès

que c> a+b; le 1er joueur perdra donc dans toute

S

l'étendue des limites assignées aux événemens composés, tandis que le 2o gagnera toujours entre ces mêmes limites. Or le nombre s pouvant être pris aussi grand qu'on voudra, il s'ensuit que quelque petite que soit la différence qu'on établisse entre les espérances mathématiques de deux joueurs, on pourra, en multipliant le nombre des épreuves, obtenir telle probabilité qu'on voudra, que le joueur favorisé sera toujours en gain, et l'autre toujours en perte.

Cette dernière proposition me paraît bien suffisante pour justifier la règle du pari équitable et fixer le sens que l'on doit attacher à l'espérance mathématique ; elle prouve la nécessité de faire entrer la répétition des hasards dans l'appréciation des pertes et des gains qu'ils amènent, et justifie complètement l'assertion qui termine le n° 37 (*).

(*) Condorcet ajoute encore les considérations suivantes qui ne sont pas moins curieuses.

Dans le développement de (m + n)r(m+n) la somme des termes qui précèdent le plus grand, celui qui est affecté de mTMmnTM”, comparée à la valeur totale du développement, tend sans cesse vers le rapport ; il en est de même de la somme des termes qui suivent ce plus grand. Les premiers répondent aux événemens qui font gagner le joueur pariant pour A, les autres aux événemens qui font gagner son adversaire, lorsque leurs espérances mathématiques sont égales, et seulement dans ce cas. Il résulte évidemment de là que l'état des joueurs est parfaitement le même, puisqu'à mesure que les épreuves

65. Je n'ai encore considéré que deux événemens possibles à chaque épreuve; mais on applique l'espérance mathématique à l'évaluation de tous les genres de hasard. Soit, par exemple, un dé à 6 faces marquées depuis 1 jusqu'à 6, pour l'apparition de chacune desquelles un joueur s'engage à donner à celui qui jette le dé, autant de francs qu'elle contient de points; on demande la somme que ce dernier doit mettre au jeu? L'espérance mathématique de celui-ci se forme en ajoutant celles que donnent tous les événemens possibles, et qui sont égales au produit du nombre de points marqués sur les diverses faces, par la probabilité d'en amener une quelconque : le résultat est

2/ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6)= 3fr. 1.

2

Aucun événement ne rapportera précisément cette somme; mais elle est la moyenne (ou elle tient le milieu) entre les gains et les pertes, c'est-à-dire que les unes sont autant au-dessus que les autres sont audessous. En effet, le second joueur éprouvera, sur les points

1

Ifr.

2

2

1 fr.

1fr.

2

fr.

les unes compensent les autres. Pour le premier joueur, ce serait la même chose, mais dans l'ordre inverse.

se répètent, les probabilités de gain tendent à devenir égales, pour tous deux (Essai sur la probabilité des décisions, etc., p. 145.). Les bornes dans lesquelles je me suis proposé de resserrer cet ou vrage, ne me permettent pas de rapporter la démonstration de la proposition ci-dessus.

Cette compensation peut ne jamais s'effectuer dans l'exactitude rigoureuse; mais les épreuves multipliées tendent sans cesse à la produire, comme aussi à opérer l'accumulation des plus petits avantages: c'est ce que l'expérience prouve chaque jour. Les personnes qui jouent constamment entr'elles des jeux de société, où les conditions du pari sont égales, et qui parviennent à peu près au même degré d'habileté, voient à la longue leurs pertes et leurs gains se rapprocher beaucoup; au contraire, les banquiers qui se chargent de tenir un jeu de pur hasard, moyennant certains avantages sur les chances, se procurent un bénéfice assuré, dès qu'ils ont des fonds suffisans pour faire face à quelques événemens trop défavorables qui peuvent arriver de tems à autres.

66. Le succès des loteries est de ce genre; il est fondé sur ce qu'elle ne rendent pas à ceux qui y mettent (ou aux pontes), le gain correspondant aux risques qu'ils courent; la disproportion est le plus souvent considérable, et augmente à mesure que les probabilités de succès diminuent, ainsi qu'on va le voir dans la loterie de France.

L'extrait simple, ou la sortie d'un seul numéro, ne rend que 15 fois la mise, quoique sa probabilité n'étant que (44), il devrait produire un gain égal à 17 fois

1

18

la mise, et rendre par conséquent 18 fois cette mise. L'espérance mathématique du banquier excède donc ici de = celle des pontes.

3 18

L'extrait déterminé, ou la sortie d'un seul numéro à une place marquée du tirage, le premier, par exemple, ne rend que 70 fois la mise, pour une probabilité égale