ment pair, il l'est encore après qu'il a été diminué de ces dernières intersections; donc alors il y a un nombre pair de branches asymptotiques n étant pair, chacune des positions successives de la parallèle donne lieu à un nombre pair de racines réelles et la conclusion est la même.

Donc les deux nombres de branches réunies vers les extrémités sont en même temps pairs et impairs.

24. On pourrait encore faire observer ici que les racines imaginaires de (x)=o qu'une asymptote, ou sa parallèle, rend infinies étant toujours en nombre pair, il y a toujours au moins quelque branche réelle, lorsque le nombre des coefficiens, qui s'évanouissent pour une asymptote et sa parallèle est impair.

Lorsque le nombre des racines réelles, que la parallèle rend infinies, est donnée, le nombre des racines réelles qui deviennent infinies pour l'asymptote est compris entre certaines limites dépendantes du nombre de branches que supposent les premières, si elles sont réelles. Done il y a nécessairement des branches imaginaires, lorsque le nombre des coefficiens qui s'évanouissent pour l'asymptote se trouve en-dehors de ces limites.

25. Il s'agit donc maintenant de séparer les racines infinies de ? (x)=0. Or, la méthode qui se présente de suite à l'esprit consiste à mettre en évidence les divers ordres de ces racines infinies, ou du moins à classer les équations particulières dont elles dépendent et à reconnaître ensuite les signes de ces mêmes racines; car ils déterminent la position des branches infinies correspondantes. Entrons dans le détail de la discussion:

26. Considérons le système ( parallèle a=0.

asymptotique A— 0, B — 0, l'asymptote rendant infinies deux racines de ? (x)=o et sa parallèle une seule, la disposition des lignes ne peut être que l'une des figures 5 et 6; il ne s'agit plus que de donner le moyen de les distinguer. Or, soit bb'+8, 8 étant une très-petite quantité positive, et la racine de l'équa

tion qui devient infinie quand ♪=0, nous pouvons toujours supposer cette racine assez grande pour qu'elle dépasse toutes les autres. En conséquence 4 (x)=o qui est déjà de la forme в xm-1+c+vo devient в xm-1 Bx'x m-3-v=0. Donc, la racine 'est positive ou négative selon que c est de signe différent ou de même signe que c. Dans c nous avons fait b⇒ b'+♪ ou simplement b=b'en supposant assez petite pour que le signe de c n'en soit pas altéré.

Donc, selon que le coefficient de b dans в est de signe différent ou de même signe que c pour b= b' nous avons la fig. 5 ou la fig. 6.

Comme в change de signe avec 8, l'hypothèse b= b' — 8 change le signe de la racine x, mais la conclusion reste la même, soit p le coefficient de b dans в. Nous voyons que la question se ramène à déterminer le signe de la racine de Psx+c=0, en faisant b=b' dans c.

27. Soit le système (A=0

=0, B=0, C=0

Ici, les valeurs a=a', b=b' tirées des équations A=0, BO satisfont à l'équation co. La parallèle rencontre donc les branches asymptotiques en deux points de plus que l'asymptote, et la position des lignes se rapporte nécessairement à la fig. 7 ou à la fig. 8. Faisons encore b=b' + et désignons par x' x" les racines qui deviennent infinies pour =o. Ces racines effaçant toutes les autres, l'équation (x)=0 ou

=0.

devient в xm-4. Or, ces deux racines ne devant être réelles qu'autant qu'elles sont de signes contraires, et в changeant de signe avec 8, les deux branches sont situées du côté pour lequel Bet D sont de signes différens. Elles sont donc au-dessus ou au-dessous de l'asymptote, selon que le coefficient de b dans в est de signe différent ou de même signe que D, après la substition dans ce dernier de b'+ à la place de

B

b ou simplement de b'; mais elles sont situées d'un même côté, au lieu d'être alternes, comme dans le cas précédent.

28. Soit(A=0, B=0

c=p (b—b') (b—b'),
> b".

A=0, B=0, c = 0; b'> Ces données supposent un assemblage de deux asymptotes parallèles qui se rapportent évidemment à l'une ou à l'autre des fig. 9, 10, 11, 12. D'ailleurs chacune de ces droites peut se discuter séparément. En effet, soit x'la racine.x.o qui devient infinie quand une parallèle coïncide avec une des asymptotes.

Cette équation réduite déjà à cam-Dm-3... o devient cam-2-cm-3...o. D'après l'hypothèse c=p (b — b') (b— b”), toute valeur de b comprise entre b' et b❞ rendra c de signe contraire à p, et toute valeur en-dehors de ces limites les rendra de même signe. Donc, évidemment, si, pour b=b', D et p sont de même signe, l'asymptote supérieure, avec ses branches, offre la disposition des fig. 9 et 10; dans le cas contraire, celle des fig. 11 et 12. De même, si, pour b⇒b” D et p sont de signes semblables, la seconde asymptote est celle des fig. 9 et 11; s'ils sont de signes différens, celle des fig. 10 et 12. c=p. (b — b')2,

29. (A=0, B=0,

(A=0, B=0, C=0

Les deux asymptotes du no 24 sont réunies et composent une asymptote double, à deux branches seulement représentée par l'une des fig. 13 ou 14. Nous avons encore, pour déterminer le signe de x' les mêmes équations que ci-dessus. Mais, ici, le signe de c est invariable et le même que celui de p. Donc, selon que le coefficient p de b2 dans c est de même signe que D, pour bb' ou de signe différent, les deux branches sont à droite ou à gauche comme dans les fig. 13 ou 14.

30. Soit (A=0, B=0 c=p (b— b') (b — b”), b>b” A=0, B=0, C=0, D= 0; D = q (h — h')

(h—g) (b− h)

On suppose d'après ces données, que b" une des racines de co, satisfait Do. Donc une parallèle voisine de l'asymptote supérieure rencontre les branches asymptotiques en un seul point; une autre voisine de l'asymptote inférieure les rencontre en deux points, et l'asymptote a quatre points à l'infini; conditions représentées par l'une des quatre figures 15, 16, 17, 18. Les deux asymptotes se discutent encore séparément, la discussion de la première rentre dans le cas de l'asymptote supérieure du no 28, ou si l'on veut celle du no 26. Done selon que p est de même signe que D pour b=b' ou de signe contraire, nous avons l'asymptote supérieure des fig. 17 et 18 ou celle des fig. 15 et 16.

La seconde se rapporte au no 27 et selon que p pour bb' sera de même signe que E, F étant le coefficient du terme en - dans 4 (x) ou de signe contraire, Les deux branches seront au-dessus fig. 16 et 17, ou au-dessous fig. 17 et 18.

31. Soit A=0, B=0 G=p(h-h') (h — h”) h'> h” A=0,B=0, C=0, D=0, D=q (h-h') (h-h") (h-h)

Ici les racines h', h" de c=0 vérifient toutes les deux l'équation de D=0. Il est facile de voir que les figures 19, 20, 21, 22 conviennent à ces données et que ce sont les seules. D'ailleurs, la discussion rentre dans le n° 27, et l'on doit en conclure que les deux branches de l'asymptote supérieure sont situées au-dessus et au-dessous, selon que p est de signe différent ou de même signe que E pour n=n'; pour la même hypothèse, l'inverse aurait lieu à l'égard de l'asymptote.

32, Soit (A=0, B=0,

c = p (b ·b') 2

=0, B=0, C=0, D=0, D=q (b—b') 2 (b—h)

La détermination du système asymptotique dépend de l'équation p x2 + D" &2 x + E0 ou ps2x2 + q d3 x +

E o que l'on peut réduire àp 8x+o, parce que x,

ou à fortiori 3x, disparaît devant s2x2. Donc si p est de signe contraire à E, pour b➡b' on a deux racines réelles et de signes contraires, quel que soit le signe de 8, et par suite la figure 27, Mais si p est de même signe que E, les branches asymptotiques et l'asymptote elle-même sont imaginaires.

33. Soit (A=0,B=0

c=p (b-b'):

A=0,B=0, C=0, D=0, D=q (b—b') (b—g) ( (b-h)

Nous avons à considérer l'équation p s x2 + D'ε x+ E=0 dans laquelle p' est la dernière de D lorsqu'on y fait b=b'.

Il n'est pas permis de supprimer & qui est de même ordre de grandeur que s2x2, mais elle est facile à discuter. D'abord si pour bb', E et p sont de signes contraires, les racines sont toujours réelles et l'on a la figure 27. Si F et p sont de même signe, la réalité des racines dépend de la conditions (D'2—4 E p)> o. Or cette condition est indépendante du signe de s. Quand elle a eu lieu, les deux racines sont positives pour & positif. Sip et d' sont de signes contraires et vicè versâ. On a donc, selon le cas, la figure 26 ou la figure 25. Dans le cas particulier où D' — E p=0, les termes en se détruirait dans le développement de D-4 E p s lorsqu'on y fait bb'+8. Alors il faudrait conserver certaines puissances de qui étant supposées négligeables, et on obtiendrait une nouvelle condition de la forme & M> o condition dans laquelle м est fonction de b' et qui serait satisfaite par & positif ou par ♪ négatif selon le signe de M. Si м est positif, on a la figure 28 ou 29 selon que p et d' formeront une variation de signes ou une permanence. Si м est négatif, ce sera la figure 30 ou 31.

34. Soit A=0,B=0

c=p (b―b')2

A=0, B=0, C=0, D=0, F=0, D=q (b—b) (b-g) (b-h)

La parallèle rencontrant en trois points les branches