unité, il est évident qu'une pareille expression a une limite, puisque l'erreur commise en s'arrêtant à un chiffre est moindre qu'une unité du même ordre, et peut par conséquent devenir plus petite que toute quantité donnée. 70. Maintenant il est facile de reconnaître que dans une pareille expression le déplacement de la virgule produit sur la limite le même effet que lorsque le nombre des chiffres est fini.

En effet, arrêtons la fraction décimale à un chiffre quelconque, le reste qui compléterait la limite sera moindre. qu'une unité du dernier ordre. Dans l'expression ainsi obtenue, déplaçons la virgule, par exemple, en l'avançant d'un rang vers la droite; le nouveau nombre sera dix fois plus grand, et, par conséquent, si on lui ajoutait dix fois le premier reste, on aurait dix fois la limite de l'expression proposée. Mais, en prenant un nombre de chiffres de plus en plus grand, le reste peut devenir moindre que toute quantité donnée, ainsi que son décuple. Donc la limite de l'expression obtenue par le déplacement de la virgule est égale à dix fois celle de la proposée.

Le même raisonnement s'appliquerait à un déplacement quelconque de la virgule vers la droite ou vers la gauche, et l'on peut énoncer la proposition suivante :

« Si dans une expression décimale indéfinie on déplace d'une manière quelconque la virgule, la limite se trouve multipliée ou divisée par le même nombre que le serait, par le même déplacement, la valeur d'une expression décimale dont le nombre des chiffres serait limité. »

71. Nous avons vu qu'une fraction ordinaire, qui n'est pas exactement réductible en décimales, donne une expression périodique.

Rien n'est plus facile que de résoudre la question inverse et de déterminer la limite d'une fraction décimale

périodique quelconque dont on ne connaît pas l'origine. Si la périodicité ne commence pas au premier chiffre décimal, on ramènera la question à ce cas plus simple en avançant la virgule jusqu'au commencement de la première période; on multiplierait ainsi la limite par le produit de plusieurs facteurs dix, et il suffirait par conséquent de déterminer la valeur de la nouvelle fraction, puis de la diviser par cette puissance de dix. La partie à droite de la virgule étant seule inconnue, nous ne nous occuperons que de cette recherche.

Pour résoudre cette dernière question d'une manière générale, considérons par exemple la fraction périodique

dont la période commence au premier chiffre.

Nous savons qu'en avançant la virgule jusqu'au commencement de la seconde période nous aurons rendu la limite cherchée mille fois plus grande. Nous aurons ainsi

expression dont la partie périodique indéfinie qui suit la virgule a évidemment la même limite que (1). La différence de (1) et ( 2 ) a donc pour limite 357; la différence des limites de (1) et (2) est donc la valeur de la limite de (1) répétée mille fois moins une fois, ou 999 fois. Donc 999 fois la

limite de (1) est 357; donc (1) a une limite qui est

357 999

Et comme les mêmes raisonnements se feraient pour toute autre période composée d'un nombre quelconque de chiffres, on peut énoncer cette règle que :

<«< Toute fraction périodique, dont la période commence au premier chiffre décimal, a une limite représentée par une fraction ayant pour numérateur une de ses tranches et

pour dénominateur un nombre composé d'autant de qu'il y a de chiffres dans une tranche. »

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Le cas où il y a une partie non périodique après la virgule résulte de ce qui précède; et l'on voit que toute fraction décimale, qui est périodique à partir d'un chiffre quelconque, a pour limite une fraction ordinaire.

CHAPITRE VII.

EXTRACTION DES RACINES.

NOUVELLE EXTENSION

DONNÉE A L'IDÉE DE NOMBRE.

72. Les produits d'un nombre par lui-même se nomment les puissances de ce nombre; leur degré est le nombre de fois qu'il est facteur. Relativement à ses puissances, le nombre s'appelle racine.

Nous ne parlerons pas des procédés à suivre pour trouver la racine d'un degré quelconque d'un nombre donné ; nous renvoyons pour cela aux Traités d'Arithmétique.

Si l'on formait les puissances d'un même degré des nombres entiers consécutifs, on obtiendrait des nombres entiers qui différeraient de plus d'une unité : les nombres entiers compris entre deux puissances consécutives auraient donc leurs racines comprises entre deux nombres entiers consécutifs, et par conséquent non entières.

Or les théorèmes sur les facteurs premiers démontrent qu'un nombre fractionnaire élevé à une puissance quelconque ne peut produire un nombre entier. Donc les nombres entiers compris entre deux puissances consécutives ne peuvent avoir ni racine entière ni racine fractionnaire; ils n'auraient donc aucun nombre pour racine, puisque nous ne reconnaissons encore que des nombres entiers ou fractionnaires.

On pourra bien trouver des nombres fractionnaires dont la puissance sera aussi voisine qu'on voudra du nombre proposé; mais aucun ne pourra le produire aussi exac

tement.

Le même inconvénient se rencontre dans l'évaluation des grandeurs concrètes en nombres. Celles qui ont une commune mesure avec l'unité choisie peuvent être exprimées par un nombre entier ou fractionnaire; celles qui n'en ont pas ne peuvent pas l'être. Dans la pratique, il est vrai, les choses se passeront toujours comme s'il y avait une commune mesure, parce que les subdivisions de l'unité deviendront assez petites pour que le reste de la grandeur à évaluer soit imperceptible. Mais, quand il s'agit de grandeurs liées par des relations purement théoriques, on peut démontrer qu'il n'existe pas de mesure commune entre elles, et alors l'évaluation exacte de l'une d'elles est reconnue impossible au moyen des subdivisions de l'autre en parties égales. Si, par exemple, on voulait évaluer la diagonale du carré dont le côté est pris pour unité, on ne pourrait le faire au moyen d'aucun nombre entier ou fractionnaire, parce qu'on démontre qu'il n'y a pas de commune mesure entre la diagonale et le côté d'un carré. Et si, pour échapper à cette difficulté, on changeait l'unité, il serait toujours impossible d'évaluer avec une même unité quelconque la diagonale et le côté. Il faut donc ou donner de l'extension à l'idée de nombre, ou dire qu'il y a des grandeurs qui peuvent être exprimées en nombres avec une certaine unité, et ne le pourraient avec une autre; et que dans une même question on peut avoir à considérer des grandeurs qui ne sont pas susceptibles toutes d'être exactement exprimées en nombre, quelque unité qu'on choisisse.

73. Et nous ferons ici une remarque applicable à toutes les questions sur les nombres. Elle consiste en ce que, quelle que soit la nature des opérations effectuées en vue de déterminer la valeur d'un nombre, si ces opérations ne s'arrêtent jamais, et que les restes à évaluer après chacune