ce même Chapitre, le multiplier par le second nombre

C'est à quoi l'on eût été conduit aussi en posant la proportion

65. Le second procédé est plus simple quand il s'agit de nombres entiers; mais, dans le cas général, on voit qu'il n'offre aucun avantage réel sur l'autre. Et ce dernier est fondé sur cette considération importante, qu'il n'est pas permis d'ignorer, que les prix ont entre eux le même rapport que les quantités mêmes. Si donc il fallait sacrifier l'une des méthodes, ce ne devrait pas être celle des proportions.

l'on ne

66. Remarque. — Les proportions sont d'un grand usage dans la Géométrie, mais il ne faut pas. oublier que peut comparer que des quantités de même espèce; on peut néanmoins avoir une proportion dont les quatre termes ne soient pas homogènes, parce que le rapport de deux quantités d'une même espèce peut être égal au rapport de deux autres d'une même espèce, différente de la première; en entendant toujours par rapport le nombre qui, multipliant

la seconde quantité, reproduit la première. Ainsi, par

exemple, le rapport de deux surfaces est quand la se

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conde, multipliée par 1, donne la première, ou, en d'au

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tres termes, quand la première est les de la seconde.

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Parmi les propositions démontrées ci-dessus, il y en a qui subsisteraient encore dans le cas où les termes seraient des grandeurs concrètes, d'une seule ou de deux espèces différentes; mais la plupart de celles dont on fait usage supposent que les quatre termes sont des nombres. Par exemple, il n'y aurait aucun sens à attacher aux produits des extrêmes et des moyens si ces termes n'étaient pas des nombres. On ne pourrait changer d'ordre les moyens, s'ils étaient d'espèces différentes, etc.

On voit donc que, pour faire l'application des théorèmes démontrés sur les proportions entre des nombres, aux proportions entre des quantités concrètes, géométriques ou autres, il faut commencer par réduire ces dernières à des proportions entre des nombres, et pour cela remplacer le rapport de deux grandeurs d'une même espèce quelconque par le rapport de deux nombres, ce qui exige que ces deux grandeurs aient une mesure commune. Et réciproquement, si elles en ont une, leur rapport sera le même que celui des deux nombres entiers qui expriment combien de fois elle est contenue dans chacune de ces deux grandeurs.

On peut donc passer ainsi de proportions entre des quantités concrètes à des proportions entre des nombres, et y appliquer tous les moyens de calcul démontrés pour ces derniers; et, lorsque l'on sera parvenu à des proportions entre des nombres représentant des quantités concrètes, on pourra les remplacer par ces dernières, puisque les rapports n'en seront pas altérés.

CHAPITRE VI.

FRACTIONS DÉCIMALES. PREMIER EXEMPLE DE LIMITES DE QUANTITÉS VARIABLES.

67. L'évaluation des quantités en subdivisions décimales de l'unité offre l'avantage d'une représentation semblable à celle des nombres entiers, d'où résulte une plus grande facilité pour les opérations. La réduction au même dénominateur n'est plus nécessaire pour les additions et soustractions; et les subdivisions de l'unité étant toujours les mêmes, on est bientôt familiarisé avec elles, et l'on se fait facilement une idée approchée de la valeur d'une fraction décimale, à la seule inspection de ses premiers chiffres.

Mais l'avantage de cette uniformité est quelquefois contre-balancé par le grand nombre des chiffres que l'on doit prendre pour avoir avec une grande approximation la valeur qu'on renonce à prendre exactement.

Lorsqu'une fraction est donnée par un numérateur et un dénominateur, et qu'on veut la réduire à la forme décimale, il suffit d'effectuer la division qu'elle indique, en réduisant le numérateur entier et les restes successifs en dixièmes, centièmes, etc., comme on réduisait les divers ordres d'unités du dividende et des restes successifs en unités d'ordres inférieurs, pour trouver les différents chiffres du quotient entier.

Cette opération peut se terminer, comme aussi elle peut se prolonger indéfiniment. On peut reconnaître lequel de ces cas aura lieu, d'après la décomposition du dénominateur en facteurs premiers. Nous ne nous occuperons

pas de ces détails; nous nous bornerons à dire que, quand l'opération ne se termine pas, il y a un certain nombre de chiffres consécutifs qui se reproduisent dans le même ordre indéfiniment; et l'on reconnaît que la périodicité commence, quand on retombe sur un reste déjà obtenu, qui ramène les suivants dans le même ordre et par suite les chiffres du quotient. Or on ne peut avoir plus de restes différents qu'il n'y a d'unités dans le diviseur diminué d'une unité. Si donc, après en avoir obtenu ce nombre, l'opération n'est pas exactement terminée, le quotient sera périodique, et la période commencera au chiffre d'ordre quelconque fourni par le premier reste qui doit se reproduire. Il existe donc des quantités susceptibles d'être exprimées exactement au moyen de certaines subdivisions de l'unité, et qui ne peuvent l'être par d'autres assujetties à certaines conditions, qui leur permettent cependant d'atteindre un degré quelde petitesse. Ainsi, par exemple, une quantité qui serait exactement les de l'unité ne peut jamais être complétement épuisée au moyen des dixièmes, centièmes, millièmes, etc., d'unité, quelque loin qu'on prolonge l'opération: la division donnera o, 81 8181..., la période 81 se reproduisant sans fin.

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68. Limites de variables. -- Lorsque l'on fait une division qui doit, ou non, conduire à un reste nul, l'erreur que l'on commettrait en s'arrêtant à un certain chiffre du quotient serait moindre qu'une unité de l'ordre de ce chiffre; car, puisqu'on met toujours au quotient les plus forts chiffres possibles, si l'on ajoutait à l'un quelconque d'entre eux une seule unité de son espèce, on aurait un nombre plus fort que le quotient complet; seulement il le dépasserait de moins d'une unité de cette espèce, puisqu'il manquait quelque chose et qu'on n'a ajouté qu'une unité.

Lors donc qu'une division conduit à un quotient périodique, on peut y prendre un assez grand nombre de chiffres pour que la différence avec le quotient exact soit moindre qu'une unité d'un ordre décimal aussi avancé qu'on voudra, et par conséquent moindre que toute fraction que l'on aurait assignée.

Une fraction décimale périodique nous offre donc le premier exemple d'une quantité variable qui augmente continuellement, et qui cependant n'atteint jamais une certaine valeur fixe bien déterminée, quelque grand que devienne le nombre des chiffres qui en expriment les parties. qui s'ajoutent successivement les unes aux autres. Mais, si elle n'atteint jamais cette valeur fixe, sa différence avec elle diminue de manière à pouvoir devenir et rester ensuite au-dessous de toute grandeur désignée, quelque petite qu'elle soit.

Dans ces circonstances, on dit en général que que la quantité fixe est la limite de la quantité variable, quelle que soit l'espèce de ces quantités.

Dans le cas actuel, on dira que la fraction périodique a pour limite la valeur de la fraction qu'on essayait de réduire en décimales.

La considération des limites est une des plus importantes et des plus fécondes des sciences mathématiques. Nous la développerons plus tard avec tout le soin qu'elle mérite; le moment, nous nous bornerons à ce qui est strictement nécessaire pour ne pas laisser une lacune fâcheuse dans la partie de l'Arithmétique dont nous nous occupons.

pour

69. Si l'on a une expression décimale indéfinie, périodique ou non, provenant d'une opération quelconque, dont on sait seulement que, quand on a posé un chiffre d'un ordre quelconque, on a un résultat trop faible, mais qu'on en aurait un trop fort en augmentant ce chiffre d'une

D. Sc. de rais., 2o Part.

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