dont la somme est puisque 2 π MN (CQ + C'Q) ou ou 4TOI.MN, CQ + C'Q=20I. Cette somme étant indépendante de la position des deux côtés symétriques, il suffira de la répéter autant de fois qu'il y a de côtés compris dans la demi-circonférence, pour avoir la mesure de la surface totale engendrée par le périmètre du polygone. On obtiendra ainsi 47 OI multiplié par le demi-périmètre. La limite vers laquelle tend ce produit, quand le nombre des côtés augmente indéfiniment, sera 4πOI multiplié par la demi-circonférence du cercle, ou le produit de la circonférence du cercle générateur par 2πOI, qui mesure la circonférence que décrit son centre. Telle est l'expression de la surface du tore. 414. Volume du tore. Concevons le cercle décomposé par des perpendiculaires à l'axe XY (fig. 48), dont la distance diminue indéfiniment; la partie du volume cherché, qui sera engendrée par la surface MNM'N' comprise Fig. 48. entre deux parallèles consécutives, ne différera de celle engendrée par le rectangle MM'H'H que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même; d'où il suit que le volume cherché peut être considéré comme la limite de la somme de ceux qu'engendreront tous les rectangles compris entre les parallèles prises depuis A jusqu'à B. Or le volume engendré par MM'H'H est la différence de deux cylindres dont les mesures respectives sont Mais MH.MM' est l'aire du rectangle MM'H'H, et la somme de ces aires a pour limite celle du cercle. Le volume du tore aura donc pour mesure 27 OI, multiplié par la surface du cercle, c'est-à-dire le produit de cette surface par la circonférence décrite par le centre. 415. Volume engendré par un segment de cercle tournant autour de sa corde. — Soient (fig. 49) CMD le segment, AB le diamètre parallèle à la corde, OI la distance de ces deux droites; MPQ, M'P'Q' deux perpendiculaires à CD, infiniment voisines l'une de l'autre; le volume cherché sera la limite de la somme des cylindres engendrés par les rectangles, tels que MP', pris depuis C jusqu'à D. L'expression générale de ces cylindres sera 2 π MP .PP' ou π 2 (MQ2 - 2MQ.PQ+ PQ) PP'; et il ne s'agit plus que de prendre les limites des sommes relatives à ces trois termes. La première, ou la limite de la somme des éléments MQ.PP', sera la mesure de la portion de la sphère de diamètre AB, comprise entre les deux plans perpendiculaires à AB, menés par les extrémités de la corde CD; nous la supposons connue. La seconde est égale à 27. PQ, ou la circonférence dont le rayon est OI, multipliée par la limite de la somme des produits tels que MQ.PP', ou par l'aire ECHDF. La troisième est le cylindre dont le rayon de la base est OI et la hauteur CD. Si OI est nul, on aura la sphère même. NOTE SUR L'ÉQUIVALENCE. 416. Lorsqu'une grandeur est décomposable en parties égales à une certaine unité ou à ses subdivisions, la détermination de sa mesure n'offre aucune difficulté; mais cette circonstance se présente très-rarement. Elle a lieu dans le cas d'un rectangle dont les côtés ont une mesure commune avec l'unité de longueur; les autres figures rectilignes ne la présentent généralement pas. Pour pouvoir les comparer sous le rapport de l'étendue superficielle qu'elles renferment, on a introduit la considération de l'équivalence, et l'on a regardé comme égales, sous le rapport de la surface, des figures qui résultaient de l'addition de figures respectivement égales et arrangées dans un ordre différent; ou encore de figures égales retranchées diversement de figures égales; ou enfin qui résultaient de la division de figures équivalentes en un même nombre de parties égales. A la rigueur, il faudrait que ces différents cas fussent réductibles à un seul, par exemple à la décomposition en parties respectivement égales, qui constituerait la définition de l'équivalence, et à laquelle on ramènerait les autres cas par des raisonnements rigoureux. Les difficultés que cela présenterait, et la disposition qu'on a naturellement à regarder les grandeurs de même espèce comme susceptibles d'être représentées par des nombres, et soumises aux mêmes opérations, ont engagé sans |