même limite si, au lieu de s'assujettir à prendre des faces planes, on prenait des surfaces courbes variables telles, que pour les points situés sur une même ligne perpendiculaire au plan fixe de projection, les plans tangents à ces surfaces et à la proposée fissent entre eux des angles infiniment petits. Car les faces planes qu'on circonscrirait à ces surfaces auraient un rapport aussi près de l'unité qu'on voudrait, avec les parties de ces surfaces et de la proposée, correspondant à la même projection sur le plan fixe; on trouverait donc encore la même limite pour leur somme.

389. Enfin on reconnaîtrait, d'une manière analogue à ce qui a été fait pour les courbes, que toute surface convexe est plus petite qu'une surface qui l'enveloppe de toutes parts, ou qui l'enveloppe et est terminée au même

contour.

Et de même, une surface courbe est moindre qu'une surface plane ayant même projection orthogonale sur un plan, et faisant avec ce plan un angle plus grand que tous ceux que font avec lui les plans tangents à la surface en tous ses points. L'inverse aurait lieu si tous ces derniers angles étaient au contraire plus grands que le premier.

CHAPITRE VII.

APPLICATION DE LA MÉTHODE DES LIMITES ET DE LA MÉTHODE INFINITÉSIMALE A QUELQUES QUESTIONS TRAITÉES PAR LES ANCIENS.

COMPARAISON DES SURFACES DES CERCLES.

390. Nous prendrons pour premier exemple la question traitée précédemment par la méthode des anciens, et ayant pour objet de trouver le rapport des surfaces de deux cercles dont les rayons sont donnés.

En employant les mêmes notations et considérant les polygones inscrits dont les cercles sont les limites, on obtient, comme nous l'avons vu, la relation

qui a lieu constamment entre les aires variables P, P' de ces polygones.

Or nous avons démontré généralement qu'on obtient une relation rigoureusement exacte entre les limites, en les substituant aux variables dans la relation trouvée entre ces dernières. On trouvera ainsi

ce qui prouve que deux cercles quelconques sont entre eux comme les carrés de leurs rayons.

391. Les circonférences de deux cercles quelconques sont entre elles comme leurs rayons.

Cela résulte de ce qu'elles sont les limites des périmètres de polygones réguliers inscrits, et que ces périmètres sont entre eux comme les rayons des cercles, si l'on donne à ces polygones le même nombre de côtés.

Il en serait de même des portions de ces circonférences qui correspondraient à des angles égaux aux centres.

Il suit de là que le rapport de la circonférence au diamètre est le même pour tous les cercles. Archimède en a donné la valeur approchée. Il a montré qu'il est compris entre 3 et 3. Avant lui on ne s'était pas occupé de la longueur des lignes courbes. Euclide n'en parle pas, non plus que de l'aire des surfaces courbes.

C'est pour rendre possible la comparaison de ces grandeurs qu'Archimède a posé des principes qui sont encore admis dans l'enseignement, mais dont nous n'avons pas fait usage. Il nous a semblé bien préférable de partir des définitions que nous venons de faire connaître, pour la longueur des courbes et l'aire des surfaces courbes.

Les principes admis par Archimède consistent en ce que la ligne droite est plus petite que toute courbe ayant les mêmes extrémités; qu'une courbe concave vers la droite qui joint ses extrémités est plus courte que toute autre ligne qui l'enveloppe, et a les mêmes extrémités; qu'une surface plane est moindre que toute surface terminée au même contour; et, enfin, qu'une surface concave vers un même plan est moindre que toute autre surface qui l'enveloppe et est terminée au même contour.

Au moyen de ces principes, Archimède a pu résoudre un grand nombre de questions de la plus haute importance, qui n'avaient pu être abordées par les géomètres qui l'avaient précédé. Tout ce qui dépend de la longueur des courbes et de l'aire des surfaces courbes, c'est-à-dire une

grande partie de la Géométrie, se trouvait hors de la portée du raisonnement.

392. Le rapport de la circonférence au diamètre est d'une si grande importance, qu'après avoir démontré qu'il était incommensurable, on a cherché du moins à en approcher de manière à rendre l'erreur sans influence sensible. On a même été bien au delà des besoins de la pratique; on a eu la curiosité de connaître plus des cent cinquante premières décimales; et il est inutile de dire qu'on n'a jamais eu besoin d'employer une aussi grande approximation. Dans les calculs on désigne le rapport, supposé exact, par la lettre ; de sorte que, si l'on appelle R le rayon d'un cercle, le rapport de sa circonférence à 2R sera î, et la circonférence sera exprimée par 27 R.

393. Les angles au centre ayant entre eux le même rapport que les arcs compris entre leurs côtés, on pourrait prendre ces arcs mêmes, évalués en nombres, comme mesure des angles; il suffirait pour cela que l'angle pris pour unité interceptât entre ses côtés un arc égal à l'unité de longueur. Alors le nombre qui exprimerait un angle quelconque serait le même que celui qui exprimerait l'arc qu'il intercepte. Pour l'évaluation des arcs d'un cercle, l'unité la plus naturelle à choisir est le rayon lui-mème ; et les angles se trouvent mesurés par le rapport de l'arc au rayon, qui est indépendant du rayon choisi. Alors la demi-circonférence sera exprimée par π, et ce sera la mesure de deux angles droits l'angle unité sera celui qui interceptera entre ses côtés un arc égal au rayon. On l'obtiendrait en degrés en faisant la proportion

nombre incommensurable qui exprime en degrés l'angle choisi pour unité dans le système où les angles sont mesurés par le rapport de l'arc au rayon. Ce système est employé toutes les fois qu'on n'a pas en vue la réduction immédiate des résultats du calcul en nombres.

394. Surface du cercle. Le cercle étant considéré comme limite d'un polygone régulier circonscrit, sa mesure sera la limite de celle de ce polygone, ou le produit. de la circonférence par la moitié du rayon, comme l'avait démontré Archimède.

Si R désigne le rayon, la circonférence sera 27 R, et par conséquent la surface aura pour mesure R2.

Le nombre л peut donc être considéré sous un second point de vue. Il est le rapport de la surface du cercle au carré de son rayon. On s'est servi de l'une et de l'autre de ces manières de l'envisager, pour procéder à la recherche de sa valeur approchée.

COMPARAISON DES VOLUMES DES PYRAMIDES.

395. Après avoir ramené la comparaison des parallélé pipèdes, et ensuite des prismes quelconques, à la considération de l'égalité, les anciens géomètres se sont trouvés arrêtés pour la comparaison des pyramides, soit entre elles, soit avec les prismes. Ils ont été obligés, pour y parvenir, d'avoir recours au même procédé que pour les cercles, et d'envisager la pyramide comme limite de quantités d'espèce plus simple.

Euclide commence par démontrer que toute pyramide triangulaire peut être décomposée en deux prismes triangulaires équivalents, dont l'un a pour base le quart de celle de la pyramide, et pour hauteur la moitié de celle de la pyramide; et en outre de deux pyramides semblables à la