CHAPITRE IV. DES SYSTÈMES DONT TOUS LES POINTS NE SONT PAS 359. Si l'on considère simultanément plusieurs plans, des points et des lignes droites ou courbes, situées ou non situées dans ces plans, et enfin des corps solides, toutes les notions précédentes pourront trouver leur application, parce qu'on pourra considérer séparément dans ce système des points qui se trouveront dans un même plan. On pourra même souvent y introduire de nouveaux plans, dans lesquels on imaginera des constructions propres à relier les parties du système, soit pour démontrer des démontrer des rapports, soit pour effectuer des constructions demandées. A ce dernier point de vue, on a bientôt compris la difficulté qu'il y aurait à réaliser ces plans auxiliaires, ou même les données non dans un même plan; et l'on a cherché les moyens de construire les choses demandées, sans avoir besoin d'autre chose que de tracés exécutés sur un seul et même plan. Cette question générale, susceptible d'un immense développement, et d'une très-grande utilité pratique, constitue ce qu'on appelle la Géométrie descriptive. Sans contester cette utilité, nous ne croyons pas devoir entrer dans le détail de tous les procédés ingénieux qu'elle emploie pour atteindre son but. Les propositions sur lesquelles elle se fonde sont de la Géométrie ordinaire, et leur place y est naturellement marquée; mais ce qui est propre à la Géométrie descriptive, c'est de faire usage de toutes les connaissance acquises et de tous les moyens de construction, en réduisant toujours l'exécution effective à avoir lieu dans le plan unique qui est donné. Les difficultés qu'on y rencontre ne sont pas de celles qu'il entre dans notre objet d'éclaircir, et nous renverrons pour cela aux Traités spéciaux. 360. Les premières propositions relatives aux systèmes de points non dans un même plan, qu'on appelle quelquefois systèmes de points dans l'espace, ont une certaine analogie avec celles qui commencent la première Partie. Il y a lieu de considérer des droites perpendiculaires, ou obliques, ou parallèles à des plans; des plans perpendiculaires ou parallèles entre eux: des surfaces courbes dont les plus simples sont la sphère, le cylindre, le cône, qui donnent lieu à des problèmes analogues à ceux du cercle sur un plan, mais beaucoup plus variés; des angles formés par deux ou plusieurs plans; des solides terminés par des plans. Les quantités de même espèce peuvent être comparées entre elles et exprimées par des nombres, en choisissant. une d'entre elles pour unité. Ainsi, la comparaison des angles formés par l'intersection de deux plans se ramène facilement à la considération de l'égalité. La comparaison. des solides terminés par six faces parallèles deux à deux, qu'on nomme parallélépipèdes, se ramène facilement à cette même considération de l'égalité ou de l'équivalence, qui se définira pour les solides comme pour les figures planes. On passe sans difficulté de ces solides à ceux d'une espèce plus générale, qu'on nomme prismes, et qui sont terminés par deux faces parallèles et un nombre quelconque d'autres faces parallèles à une même ligne droite. Nous admettons que toutes ces théories soient établies et qu'on ait exercé les élèves à la résolution de problèmes qui s'y rapportent, comme nous l'avons indiqué pour les points dans un même plan. Nous croyons inutile de nous en oc cuper, parce qu'elles ne présentent ni difficultés réelles, ni applications de méthodes générales, essentiellement différentes de celles qui ont déjà été étudiées. Mais, pour aller au delà, il faut des procédés nouveaux, sans lesquels on ne ramènerait même pas aux précédents tous les solides terminés par des plans. Pour les surfaces. planes, nous avons pu mesurer toutes celles qui étaient terminées par des droites; mais nous nous sommes arrêté là. Les méthodes que nous allons exposer nous permettront d'étendre les théories de la Géométrie, soit pour la mesure des surfaces planes, soit pour celle des solides quelconques et de bien d'autres espèces de quantités. CHAPITRE V. DES GRANDEURS DONT LA COMPARAISON NE SE RAMÈNE PAS DIRECTEMENT A LA CONSIDÉRATION DE L'ÉGALITÉ. MÉTHODE DES INFINIMENT MÉTHODE DES LIMITES. PETITS. 361. Après la comparaison des surfaces des figures rectilignes planes, d'où est résultée leur mesure ou leur expression numérique, se présente naturellement la comparaison des surfaces des figures dont le contour n'est pas uniquement formé de lignes droites. La question la plus simple de ce genre, celle que se sont proposée d'abord les anciens, a pour objet de trouver le rapport des surfaces de deux cercles dont les rayons sont donnés. Avant de s'occuper de cette recherche, on avait démontré que tout polygone régulier peut être inscrit ou circonscrit à un cercle; que deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables, et que leurs surfaces sont entre elles comme les carrés des rayons des cercles qui leur sont inscrits ou circonscrits. Or, en partageant les circonférences de deux cercles donnés quelconques en un même nombre très-grand de parties égales, et joignant les points de division par des droites, on a des polygones réguliers inscrits semblables, dont les surfaces sont dans le même rapport que les carrés des rayons des cercles circonscrits, qui sont les cercles donnés. De plus, en doublant indéfiniment le nombre des subdivisions des circonférences, les surfaces de ces polygones diffèrent de moins en moins de celles des cercles. On a donc aperçu facilement cette proposition, que des surfaces très-peu différentes de celles des deux cercles, sont comme les carrés de leurs rayons. y Cet aperçu vague indique la route à suivre; mais il avait de grands efforts à faire pour arriver au résultat par des raisonnements rigoureux. Nous expliquerons avec quelque détail la solution de cette question, donnée par Euclide, parce qu'elle offre le premier exemple d'une grande conception, que les modernes ont adoptée en en simplifiant l'application, sans la changer au fond, et sans y avoir rien introduit qui eût échappé à la sagacité des anciens géomètres. Cette conception consiste à regarder les quantités que l'on veut comparer comme limites de quantités variables d'espèce plus simple, et qui se prêtent plus facilement aux comparaisons. La relation entre ces nouvelles quantités est plus facile à trouver, et sa recherche constitue une question plus simple, à laquelle il reste à ramener la première. Cette méthode se compose donc de trois parties distinctes : 1o Choisir les quantités d'espèce plus simple dont les proposées soient les limites; 2o Chercher la relation entre ces quantités auxiliaires; 3o Passer de cette relation à celle des quantités proposées. Nous allons exposer la manière dont Euclide remplit ces trois objets successifs dans la question de la comparaison des cercles. Cela suffira pour faire comprendre l'esprit général de la méthode, dont nous donnerons bien d'autres exemples tirés des écrits des anciens; et nous montrerons ensuite comment les modernes l'ont simplifiée. 362. La surface d'un cercle est la limite de celle de polygones réguliers inscrits. Nous rappellerons que nous avons appelé limite d'une D. — Sc. de rais., 2o Part. 25 |