à un cercle donné; celles qui ont lieu entre les côtés d'un triangle rectangle, la perpendiculaire abaissée de son sommet sur l'hypoténuse, et les segments qu'elle y détermine, etc. Dans la résolution des problèmes, ils servent fréquemment d'intermédiaires pour ramener les constructions les unes aux autres.

336. La comparaison des figures semblables conduit à ce résultat remarquable, que leurs surfaces sont dans le même rapport que les carrés construits sur deux lignes homologues. Cette proposition se démontre d'abord pour les triangles, et s'étend facilement à des polygones semblables quelconques. La démonstration en est très-simple et facile à retenir quand on suit la marche analytique; elle offre, au contraire, quelque embarras aux élèves quand on affecte d'employer la marche synthétique, comme le fait toujours Legendre. Il ne sera peut-être pas inutile de prendre cet exemple si peu compliqué, pour montrer l'avantage de l'analyse sur la synthèse: on comprendra combien il serait plus grand dans le cas où le nombre des intermédiaires serait plus considérable.

Voici d'abord la démonstration littéralement copiée dans le Traité de ce célèbre géomètre.

Soit l'angle A D et l'angle B E (fig. 27 et 28);

Fig. 27 et 28.

F

Да

B

d'abord, à cause des angles égaux A et D, on aura, par la proposition précédente,

ABC: DEF:: AB × AC: DE × DF;

on a d'ailleurs, à cause de la similitude des triangles,

AB:DE:: AC: DF,

et si l'on multiplie cette proportion terme à terme par la proportion identique

Dans cette démonstration, on évite en quelque sorte de faire prévoir l'utilité des diverses propositions par lesquelles on passe ; et ce n'est que quand on est arrivé au but qu'on en peut saisir la liaison. Les commençants ne l'apprennent et ne la retiennent que difficilement. Voici comment on aurait pu procéder par la méthode analytique. Pour démontrer que les deux triangles semblables ABC, DEF sont entre eux comme les carrés de deux côtés homologues, par exemple AB et DE, il suffit de démontrer que les mesures de ces triangles sont dans ce rapport; ou que les produits de leurs bases par leurs hauteurs, qui sont les doubles de ces mesures, sont dans ce rapport. Soient CH, FI ces hauteurs; la démonstration du théorème en question est donc ramenée à celle de la proportion suivante :

qui, en supprimant les facteurs communs, soit aux antécédents, soit aux conséquents, devient

CH: FI:: AB: DE.

Or cette proportion est vraie, puisque dans deux triangles

semblables les hauteurs sont entre elles comme les côtés. Donc la proposition énoncée est vraie.

L'avantage de cette méthode est trop évident pour qu'il soit besoin de le faire ressortir.

AUTRE POINT DE VUE ET AUTRE DÉFINITION

DE LA SIMILITUde.

337. Lorsque deux systèmes semblables, d'après la définition précédente, sont placés de manière que deux lignes homologues soient parallèles, toutes les autres le sont respectivement; toutes les lignes qui joignent deux points homologues passent par un même point qu'on nomme centre de similitude; et le rapport des distances de ce point à deux points homologues quelconques est constant, et égal à celui de deux droites homologues quelconques du système ; on le nomme le rapport de similitude des deux systèmes. Le premier système étant fixé, on peut évidemment placer le second de telle sorte que le centre de similitude occupe une position quelconque dans le plan des deux systèmes.

Après avoir reconnu cette propriété des systèmes semblables, on a pensé qu'il était plus convenable de la prendre pour la définition même de la similitude. Elle entraîne la première, et s'applique plus simplement au cas des courbes et des surfaces courbes. Nous adopterons donc la définition suivante de la similitude:

Deux systèmes de points sont dits semblables, lorsqu'ils peuvent étre placés de manière que toutes les droites qui joignent deux points homologues passent par un méme point, et que le rapport des distances de ce point. à deux homologues quelconques soit constant.

Il résulte de là, en nous bornant aux points situés dans un même plan, que si des points sont en ligne droite dans l'un des systèmes, les homologues y seront aussi;

rayons

que s'ils sont sur un même cercle dans l'un, les homologues seront aussi sur un cercle. Ainsi le système semblable à un cercle est un cercle; et leur centre de similitude s'obtiendra en joignant les extrémités de deux parallèles quelconques, et prolongeant cette droite jusqu'à la rencontre de la ligne des centres ou d'une seconde droite menée par les extrémités de deux autres rayons parallèles : le rapport de similitude sera celui des rayons. Il est évident que le centre de similitude est le point où les tangentes communes rencontrent la ligne des centres. Ce point jouit encore d'une propriété qu'il est bon de connaître, c'est que le produit des distances de ce point à deux points non homologues situés sur une sécante quelconque menée par ce point est constant.

338. Si, au lieu de porter les longueurs dans le même sens à partir du centre de similitude, on les portait en sens contraire, le second système ne serait plus placé de la même manière par rapport au premier, mais il serait identiquement le même que si l'on avait porté les distances dans le même sens que pour le premier. On voit, en effet, qu'en faisant tourner de deux angles droits le second système autour du centre de similitude que nous appellerons inverse, il coïnciderait avec celui qu'on aurait obtenu en portant les distances dans le même sens. Les lignes homologues sont toujours parallèles, mais en sens inverse, puisqu'elles se trouvent dans le même sens après une demi-révolution. On aurait le centre de similitude inverse de deux cercles, par la rencontre de la ligne des centres et de celle qui joindrait les extrémités de deux rayons parallèles et de sens contraires. Nous aurons quelque chose à ajouter à ces considérations générales sur la similitude, lorsque nous considérerons les points situés d'une manière quelconque dans l'espace.

CHAPITRE III.

DE LA RÉSOLUTION DES PROBLEMES.

339. En se reportant à la définition générale que nous avons donnée des problèmes, on voit facilement que l'objet d'un problème de Géométrie plane doit être de déterminer soit des grandeurs, soit des positions, d'après les rapports qu'elles doivent avoir avec des grandeurs ou des positions données. Et la marche que nous avons prescrite dans toute science pour la résolution des problèmes consistera ici à ramener la construction des grandeurs demandées, ou la détermination des positions de points ou de lignes, à des constructions que l'on sache effectuer.

Il est donc nécessaire d'abord de bien fixer quelles sont celles que l'on regardera comme pouvant toujours être exécutées, de telle sorte que toute construction qui y sera ramenée puisse être considérée comme exécutée.

Or les seules constructions que l'on admette dans la Géométrie élémentaire, comme pouvant être toujours immédiatement effectuées, sont celles d'une droite indéfinie dont on connaît deux points, ou d'un cercle dont on connaît le centre et le rayon.

On a pour les exécuter les instruments qu'on appelle la règle et le compas, et on rejette l'emploi de tout autre.

On voit ce qu'il y a d'arbitraire dans ces conditions imposées aux solutions géométriques. On ne s'y est pas toujours rigoureusement attaché : les anciens eux-mêmes ont admis quelquefois des courbes moins simples que le cercle, pour la construction de problèmes qu'ils désespéraient de