319. Les longueurs des cordes d'arcs égaux dans des cercles égaux sont égales; les angles formés par les rayons extrêmes sont égaux. Les réciproques sont vraies.

Si les arcs sont inégaux, et qu'on ne considère que ceux qui sont plus petits que la demi-circonférence, au plus grand arc est opposé une plus grande corde, et un plus grand angle au centre. Les réciproques sont vraies. La perpendiculaire élevée par le milieu d'une corde passe par le centre et par le milieu de l'arc sous-tendu. Et réciproquement.

Deux parallèles qui rencontrent un même cercle interceptent des arcs égaux.

Deux cercles peuvent donner lieu, comme une droite et un cercle, à trois positions relatives différentes. Ils peuvent n'avoir aucun point commun, ou en avoir un seul, ou deux au plus. Ces trois cas correspondent à des conditions. simples entre les longueurs des rayons et la distance des centres. La discussion de ces conditions demande à être faite avec beaucoup de rigueur, mais n'offre aucune difficulté.

Si deux angles, dont l'un a son sommet au centre et l'autre sur le cercle, interceptent entre leurs côtés le même arc, le premier sera double du second.

REMARQUES GÉNÉRALES SUR LES PROPOSITIONS PRÉCÉDentes.

320. Il n'est presque aucune des propositions énoncées jusqu'ici, qui ne frappe par son évidence les esprits les moins pénétrants, et ne puisse être acceptée par tous les hommes sans démonstration. Ce serait toutefois fort mal à propos qu'on demanderait cette admission à ceux qui veulent aller au delà, et on les exposerait à tomber souvent dans de graves erreurs par l'habitude qu'ils prendraient de juger d'après les apparences. Aussi avons-nous cru de

voir donner avec rigueur la succession des premières vérités, et la liaison de chacune d'elles à celles qui la précèdent. Mais nous faisons remarquer cette évidence avec laquelle elles se présentent à tous les hommes, afin qu'on ne se demande pas pourquoi on commence par elle, et comment on les a découvertes. Beaucoup d'autres qui les suivront présenteront encore ce même caractère; mais combien il y en a aussi qui n'ont pu être trouvées que par des efforts prodigieux, et dont la démonstration ne peut être suivie que par des esprits d'élite.

Jusqu'ici donc nous n'avons rien de bien important à faire ressortir sur l'emploi des méthodes. Les énoncés des propositions étant posés, on parvient si vite à la démonstration, que la marche synthétique semble la seule qu'il ait été possible d'y employer.

Il est bon toutefois de remarquer que nous avons plusieurs fois fait usage de la méthode de réduction à l'absurde, particulièrement pour démontrer des réciproques. Ainsi, après avoir démontré les conséquences que l'égalité ou l'inégalité de deux côtés d'un triangle entraîne relativement aux angles opposés, si l'on veut connaître les conséquences relatives aux côtés qui résulteraient de l'égalité ou de l'inégalité de deux angles, la méthode de réduction à l'absurde se présente si naturellement, qu'elle doit être préférée à une démonstration directe. En effet, si l'on donne, par exemple, un des angles plus grand que l'autre, le côté opposé au premier ne peut être égal à l'autre, car les angles opposés seraient égaux, ce qui est contre l'hypothèse et il ne peut être plus petit, parce que l'angle qui lui est opposé serait le plus petit, ce qui serait aussi contre l'hypothèse. D'où il suit nécessairement que le côté opposé au plus grand angle est le plus grand. On verra souvent cette méthode employée dans la démonstration de propositions réciproques.

321. Les propositions établies jusqu'ici nous permettent de procéder à la mesure des grandeurs, dont nous avons fait sentir l'importance, sans la regarder toutefois comme l'unique objet de la Géométrie. Nous ne considérerons d'abord que les lignes droites, ou les arcs de cercles de rayons égaux, les angles et les surfaces des figures planes terminées par des lignes droites. Ce ne sera que plus tard que nous chercherons la mesure des surfaces planes terminées par des arcs de cercles quelconques, mêlés à des côtés rectilignes.

CHAPITRE II.

MESURE DES LIGNES DROITES, DES ANGLES ET DES SURFACES DES FIGURES RECTILIGNES. SIMILITUDE.

322. Nous avons fait voir, au commencement de la première Partie, comment on pouvait exprimer par des nombres toutes les quantités pour lesquelles on a défini exactement l'égalité et l'addition. Ces nombres se nomment les rapports de ces quantités à celle qui a été choisie pour unité, ou la mesure de ces quantités. Ainsi, la théorie de la mesure des grandeurs d'une espèce désignée n'a d'autre objet que de faire connaître les procédés généraux propres à déterminer le rapport de deux grandeurs de cette espèce; l'expression de ces grandeurs en nombres en sera la conséquence immédiate.

MESURE DES LIGNES DROITES.

323. L'égalité des lignes droites ayant été définie, ainsi que leur addition, et par suite leur soustraction, on peut s'occuper de leur mesure.

Les lignes droites pouvant toujours s'appliquer les unes sur les autres, il n'y a aucune difficulté à concevoir sur une droite indéfinie une portion égale à une droite donnée; ce que l'on exprime quelquefois en disant qu'elle a méme longueur, en se gardant bien toutefois de définir la longueur.

Or, nous avons dit que, pour évaluer une quantité au moyen d'une unité de même espèce, il fallait d'abord en

ôter l'unité autant de fois que possible; que s'il y avait un reste, il fallait de même en ôter autant de fois que possible une subdivision déterminée de l'unité, et ainsi de suite; nous renvoyons à l'exposition que nous avons faite de cette méthode, et des divers cas auxquels elle pouvait donner lieu. Et comme il n'y a aucune difficulté à prendre sur une droite une longueur égale à une autre ligne droite, cette opération s'exécutera immédiatement, et nous n'avons rien de plus à dire sur la mesure des lignes droites, ou leur évaluation numérique.

D'après ce que nous avons dit en général, cette mesure peut être exprimée par un nombre entier, par un nombre fractionnaire ou par un nombre incommensurable; mais il y a quelques remarques à faire sur ce dernier cas.

Si les deux lignes dont on cherche le rapport sont données matériellement, c'est aussi par des opérations matérielles que l'on procédera. Mais, quelle que soit la perfection des instruments employés, il y aura toujours des limites au-dessous desquelles les grandeurs ne seront plus perceptibles pour nous; de sorte que, même sans tenir compte des imperfections des instruments et des lignes à comparer, les appréciations seraient limitées par nos sens. On arrivera donc toujours par les procédés graphiques à une évaluation qu'on regardera comme exacte, lorsque le reste sera imperceptible; et deux lignes quelconques paraîtront toujours avoir une commune mesure, c'est-à-dire une longueur contenue exactement dans chacune d'elles. Et si l'une est prise pour unité, la mesure de l'autre sera donnée par un nombre fractionnaire.

Mais si les deux lignes ne sont pas données graphiquement, et qu'elles dépendent l'une de l'autre par des conditions exactement définies, on peut se proposer de trouver leur rapport, soit exact, soit approché, suivant qu'elles ont, ou n'ont pas, de mesure commune.