et qu'on emploie quelques dénominations irrégulières pour désigner quelques-uns des nombres au-dessus de dix, et quelques-unes des premières collections de dizaines qu'on nomme vingt, trente, au lieu de dire deux dizaines, trois dizaines, etc.

Ce procédé de nomenclature, que l'on nomme la numération parlée, consiste donc à décomposer les nombres en unités de différentes espèces nommées unités simples, dizaines, centaines, etc., et à exprimer successivement combien le nombre à nommer en contient de chaque espèce; ce qui ne peut jamais aller au delà de neuf pour aucune d'elles, puisque tant qu'il y en avait plus de neuf on en formait de l'ordre suivant.

22. Les nombres étant nommés, on pouvait les communiquer par l'écriture comme tous les autres mots des langues; mais ce moyen se serait difficilement prêté aux combinaisons dans lesquelles les nombres se trouvent engagés, et la loi simple qui a présidé à la numération parlée. en donne un bien plus avantageux et qui se présente de lui-même.

En effet, puisque les unités de chaque espèce dont se composent tous les nombres d'après le système qui vient d'être exposé ne peuvent jamais aller au delà de neuf, il suffit de convenir de neuf caractères particuliers pour représenter les neuf premiers nombres, et il ne restera plus qu'à indiquer l'espèce d'unité que chacun désignera dans le nombre particulier qu'on aura à écrire. Cette dernière condition pouvait être remplie de diverses manières. La plus simple, celle à laquelle on s'est arrêté, consiste à écrire à la suite les uns des autres les caractères ou chiffres qui expriment les nombres d'unités de chaque espèce que renferme le nombre en question, en indiquant cette espèce par la place occupée par le chiffre qui lui corres

pond. On est convenu à cet effet de placer toujours à la première place à droite le chiffre des unités simples, à la seconde celui des dizaines, à la troisième celui des centaines, et ainsi de suite indéfiniment. Mais, pour que l'absence possible d'une espèce d'unités n'introduise aucune confusion dans la place que doivent occuper les autres, on est convenu d'un nouveau chiffre qui ne représente aucun nombre et n'a d'autre office que de marquer la place des unités qui manquent et d'éviter ainsi toute erreur sur la signification des autres chiffres.

Ce procédé, qui constitue ce qu'on appelle la numération écrite, n'exige, comme on le voit, que dix caractères pour la représentation de tous les nombres, quelque grands qu'on les suppose.

23. Quant aux fractions ordinaires, c'est-à-dire celles qui résultent de la subdivision de l'unité en parties égales dont on a pris un certain nombre, elles se déterminent par les deux nombres entiers qui indiquent en combien de parties égales l'unité a été partagée, et combien la fraction en renferme. Le premier se nomme dénominateur, le second numérateur, et l'on écrit le premier sous le second en les séparant par une barre. Ainsi 47 indique que

55

l'unité a été partagée en 55 parties égales et qu'on en a pris 47.

CHAPITRE II.

DES PREMIÈRES OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES, ET DE QUELQUES THÉORÈMES QUI S'Y RAPPORTENT.

24. Dans leurs relations journalières, les hommes sont conduits à chaque instant à ajouter des nombres, à les retrancher, à les répéter un certain nombre de fois ou à les diviser en parties égales. Ces opérations élémentaires s'effectuaient d'abord par des procédés grossiers et irréguliers, même après l'invention de la numération parlée, et il en est encore de même aujourd'hui pour une grande partie de la population chez les nations les plus civilisées. Cependant la décomposition uniforme de tous les nombres en unités décuples les unes des autres et l'écriture simple qui en résulte donnent des moyens commodes de les effectuer, qui sans doute deviendront un jour familiers à tous les hommes. La première condition à remplir est que ces procédés s'appliquent indistinctement à tous les nombres et que la démonstration, faite généralement une fois pour toutes, conduise à une règle qu'on applique aveuglément dans chaque cas particulier, sans avoir besoin de se préoccuper de nouveau de la justifier. Nous n'entrerons pas dans tous les détails que donnerait un Traité élémentaire d'Arithmétique; mais cependant nous ne pouvons nous dispenser d'examiner avec quelque attention les questions qui se présentent au début même de la Science, et sur lesquelles doit s'exercer d'abord l'intelligence de l'élève.

25. Addition. On appelle ainsi l'opération qui a

pour but de réunir plusieurs nombres en un seul qui soit égal à leur somme. Si l'on voulait ajouter successivement à l'un d'eux toutes les unités simples qui composent les autres, l'opération serait d'une longueur fastidieuse, et par suite sujette à beaucoup d'erreurs; mais la décomposition uniforme des nombres et l'écriture si simple qui en a été la conséquence conduisent, par une analyse bien naturelle, à une règle de pratique d'une très-grande brièveté.

En effet, le principe précédemment admis, que la somme de plusieurs nombres est indépendante de l'ordre dans lequel on ajoute leurs diverses parties, permet de ramener la question à une plus simple qui consisterait à ajouter entre elles toutes les unités de premier ordre, puis entre elles toutes les unités de second ordre, et ainsi de suite jusqu'aux plus élevées; et les opérations partielles auxquelles on est ainsi conduit, et qui sont en très-petit nombre, s'effectuent immédiatement, puisque tous les nombres à ajouter y sont au-dessous de dix. Mais cependant tout n'est pas fini, parce que la somme trouvée pour les unités d'une même espèce peut dépasser neuf et ne pourrait pas alors être écrite au rang correspondant dans la somme. Ce qui se présente tout naturellement dans ce cas, c'est de les réunir en groupes de dix et d'ajouter aux unités immédiatement supérieures autant d'unités qu'il y a de ces groupes; il restera ainsi dans chaque ordre un nombre d'unités audessous de dix, et la somme se trouvera faite et écrite trèspromptement. Et la règle qui énonce le procédé que nous venons d'indiquer est applicable à tous les nombres, c'est-àdire qu'elle est générale.

26. Soustraction.

Cette opération a pour objet la détermination de ce qui reste d'un nombre quand on en retranche un autre, ou, en d'autres termes, de la différence de deux nombres donnés.

Des remarques analogues à celles que nous avons faites pour l'addition conduisent naturellement à retrancher, si cela se peut, les unités de divers ordres qui composent le plus petit nombre de leurs correspondantes dans le plus grand. Mais, si le nombre des unités d'un certain ordre est plus grand dans le petit nombre que dans l'autre, on emploie un artifice très-simple fondé sur ce principe évident, que la différence de deux nombres n'est pas changée quand on les augmente également tous les deux. D'après cela, si le chiffre d'un certain ordre du grand nombre est moindre que le correspondant du petit, on l'augmente de dix des unités qu'il représente, qui en valent une de l'ordre suivant; alors la soustraction des deux chiffres peut se faire, et le reste sera moindre que neuf. Mais, pour ne pas changer la différence des deux nombres proposés, il faudra ajouter au petit nombre, comme on l'a fait au grand, une unité de l'ordre suivant. De là résulte une règle fort simple pour l'exécution de l'opération. Et cette règle est générale, car les raisonnements que nous venons de faire s'appliquent à tous les nombres.

27. Multiplication.

Cette opération a pour objet de trouver le résultat de la répétition d'un même nombre. Cette question se présente à chaque instant dans la vie ordinaire ; par exemple, lorsque l'on veut connaître le prix d'un nombre donné d'unités quand on connaît le prix d'une seule : il est évident que pour cela il faut répéter le nombre qui exprime le prix de l'unité autant de fois qu'il y a d'unités.

On pourrait bien exécuter cette opération en ajoutant à lui-même le nombre qui doit être répété; mais, s'il doit l'être un très-grand nombre de fois, ce moyen serait d'une longueur rebutante et, par suite, sujet à beaucoup d'erreurs; l'objet qu'on se propose est d'exécuter cette addition d'une manière abrégée.