DES VALEURS MAXIMUM OU MINIMUM D'UN POLYNOME. 221. Lorsqu'une fonction de x varie d'une manière continue, et que la variation de x à partir d'une valeur particulière a, dans l'un ou l'autre sens, produit une diminution dans la valeur de la fonction, même lorsque cela n'aurait lieu qu'entre deux limites très-voisines de a, on dit que pour cette valeur a de la variable la fonction a une valeur maximum. Si, dans les mêmes circonstances, il y avait augmentation de la fonction au lieu d'une diminution, on dirait que la valeur de la fonction est minimum. Il est facile, d'après ce qui précède, de ramener à la résolution d'une équation la détermination des valeurs particulières de x auxquelles correspondent ces valeurs remarquables de la fonction, lorsque du moins elle est réductible. à un polynôme entier et rationnel. En effet, considérant les valeurs de x entre les deux limites dont nous avons parlé, qui comprennent une valeur a à laquelle correspond un maximum ou un minimum de F(x), on voit qu'en faisant passer x d'une manière continue de la plus petite limite à la plus grande, la fonction, dans le cas du maximum, ira en croissant jusqu'à xa et commencera ensuite immédiatement à décroître. Donc F(x) sera positif jusqu'à xa, et deviendra immédiatement négatif au delà. La fonction F'(x), qui est continue, passe donc par zéro entre les deux limites, et cette valeur ne peut correspondre qu'à xa, puisque pour les valeurs moindres elle est positive, et négative pour les plus grandes. L'inverse aurait lieu dans le cas du minimum. D'où l'on conclut cette proposition: Les valeurs de x, qui rendent maximum ou minimum la valeur d'un polynome, rendent nulles sa première dérivée. Il s'ensuit que, si l'on ne considère que des valeurs réelles pour la variable x, il faudra chercher les racines réelles de l'équation F(x)=0, et il ne restera plus qu'à s'assurer pour chacune d'elles si elle donne un maximum ou un minimum. Et même il faut bien remarquer que, l'équation F' ( x ) 0, n'étant qu'une conséquence nécessaire de la supposition que F(x) est maximum ou minimum, et que nous n'avons pas démontré la réciprocité, il est possible qu'elle renferme des solutions étrangères. Soit donc a une racine réelle de cette équation, l'accroissement de la fonction aura l'expression suivante : et comme c'est à partir de a qu'on doit considérer les variations de x, et dans un intervalle qu'on pourra supposer aussi petit qu'on voudra, c'est pour des valeurs de h partant de zéro, entre deux limites de signes contraires et aussi petites qu'on voudra, qu'il faut étudier le signe de l'accroissement de F(x). Or ce signe est le même que celui de h2 F" (a) ou de F"(a), quelque signe qu'ait h. Donc on aura un maximum si F" (a)<o, et un minimum si F" (a) 0. Mais il n'y aurait ni l'un ni l'autre si l'on avait F"(a) = 0, et que F(a) fût différent de zéro; car le signe du développement serait le même que celui du premier terme, ou 3 de h3 F" (a), et par conséquent changerait avec le signe de h. La valeur de a serait alors étrangère au problème proposé. Si cependant on avait en outre le signe du polynôme serait celui de h4 F1 (a); il ne dépendrait donc pas du signe de h, et il y aurait maximum si l'on avait F1(a)<o, et minimum si F1 (a)>o. On continuerait semblablement s'il y avait un plus grand nombre de dérivées à s'annuler pour x a. CHAPITRE XXVIII. DE LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 222. Le principal objet des formules générales est de dispenser de répéter dans chaque cas particulier les mêmes. raisonnements et les mêmes opérations, et d'indiquer seulement celles qui sont indispensables. On conçoit cependant qu'il pourrait y avoir plusieurs formes sous lesquelles se présenterait l'expression générale d'une même chose, suivant la manière dont on aurait dirigé la recherche. Il faut dans ce cas choisir celle qui est le plus appropriée à l'objet qu'on a en vue, et qui peut n'être pas toujours le même. Et cette remarque s'applique non-seulement aux racines des équations, mais, comme on le pourra voir plus tard, aux résultats des questions d'un ordre beaucoup plus élevé. Ainsi nous avons vu que la formule des racines de l'équation du troisième degré, dans le cas qui semblerait le plus à l'abri de toute difficulté, dans le cas où ses trois racines sont réelles, se présente sous une forme imaginaire, que l'on démontre bien être réductible à une forme réelle, mais qui ne peut l'être qu'à la condition de résoudre une autre équation du troisième degré qui présenterait des difficultés analogues. Il est vrai que ce cas, qu'on appelle irréductible, est susceptible de transformations qui conduisent à des formes réelles; mais c'est en introduisant des considérations géométriques, et en admettant la construction de Tables d'une très-difficile exécution. Les équations du quatrième degré se ramenant au troisième offriraient encore plus de difficultés à la réalisation numérique des formules générales. Et l'on ne saurait beaucoup regretter de ne pouvoir obtenir de formules pour les racines des équations de degrés supérieurs au quatrième, parce que la difficulté de les appliquer aux cas particuliers ne ferait que s'accroître de plus en plus. En conséquence, le problème général de la résolution des équations a dû se poser de cette manière : << Étant donnée une équation d'un degré déterminé quelconque, dont les coefficients sont des nombres donnés que!conques, trouver des procédés généraux qui conduisent à la valeur exacte, ou aussi approchée qu'on voudra, de toutes ses racines. >> Pour découvrir ces procédés applicables à tous les cas particuliers, comme on en a déjà pour l'extraction des racines de degré quelconque, qui forment les cas les plus simples, il faut établir un certain nombre de théorèmes généraux, dont quelques-uns ont été démontrés dans les Chapitres précédents. 223. La première question qu'il semble naturel de se faire, quoiqu'il ne soit pas indispensable de savoir y répondre, c'est si le problème qu'on se propose a toujours une solution: en d'autres termes, si toute équation a une racine. Cela a été démontré pour les quatre premiers degrés; mais il en est ainsi pour les suivants, et peut-on affirmer que le problème difficile dont on se propose de trouver la solution est réellement susceptible d'en recevoir une. Des théorèmes démontrés précédemment nous ont conduit à ces conséquences générales, que: 1° Toute équation de degré impair a au moins une racine réelle, de signe contraire à son dernier terme; 2° Toute équation de degré pair, dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles, l'une positive, l'autre négative. |