Ce sont là les deux valeurs de g et h. Les reportant dans la seconde équation, on obtient

ou, en élevant au carré et ordonnant par rapport à ƒ,

(4)

2

ƒ3 -- 2pf - (p2 - 41 )ƒ2 — q2o.

Cette équation est du troisième degré, si l'on prend pour inconnue f2, et comme son dernier terme est négatif, elle a une racine réelle positive: d'où résultent pour ƒ deux valeurs réelles et de signes contraires. Prenant l'une quelconque des deux, ce qui n'influe pas sur les valeurs trouvées de g et h, et observant que l'équation (3) donne pour le radical qui entre dans leur expression une valeur réelle, il s'ensuit que les trois quantités f, g, h seront réelles et que le premier membre de l'équation (1) sera décomposé en deux facteurs réels du second degré. On ne pourra donc satisfaire à cette équation qu'en égalant l'un ou l'autre à zéro, ce qui donnera quatre valeurs pour x, que l'on tirera des deux équations suivantes :

210. Remarque. -- On voit que cette analyse a consisté à décomposer un polynôme du quatrième degré en deux facteurs du premier, et ramener ainsi la résolution de l'équation générale du quatrième degré à celle du second. Mais, pour opérer cette décomposition qui ne se fait pas d'elle-même, mais qu'on se propose comme un nouveau problème auquel on cherche à ramener le premier, on est conduit à résoudre une équation du troisième degré, c'està-dire à une question dont on connaît la solution.

Nous ne nous occuperons pas des détails auxquels donne lieu la discussion des formules: nous ne voulions que faire connaître l'esprit de cette belle analyse de Descartes, et nous ne parlerons pas de plusieurs autres méthodes ingénieuses pour résoudre cette même question on les trouvera exposées dans les Traités ordinaires d'Algèbre.

CHAPITRE XXVII.

LES POLYNOMES DÉRIVÉS.

211. Lorsque nous avons parlé de la transformation des fonctions par un changement de variables, nous avons signalé en particulier celle qui provient du changement de la variable x en y+h, ou simplement en x+h. Si la fonction de x est le premier membre d'une équation, la nouvelle équation en y ou x a pour racines toutes celles de la première, diminuées de h.

Nous avons montré comment ce changement de variable pouvait servir à simplifier ce polynôme, soit variable, soit égalé à zéro. Cette transformation est utile dans beaucoup d'autres questions, et mérite une attention particulière.

Nous allons nous occuper du résultat de cette substitution, en nous bornant ici au cas où la fonction donnée est un polynôme entier et rationnel, et ordonnant le résultat par rapport aux puissances ascendantes de h.

(1)

Soit donc la fonction

AxmВxm-1 +

Sx2+ Tx + U.

Pour connaître la loi des coefficients des différentes puissances de h, lorsqu'on remplace x par x+h dans ce polynôme, il suffit de l'étudier dans un terme général Mx"; car le coefficient d'une puissance quelconque de h, provenant d'une somme de termes, est la somme de ceux qui sont fournis par ces différents termes.

et l'on voit sans peine que l'exposant de x diminue d'un terme à l'autre, depuis n jusqu'à zéro, tandis que celui de h augmente depuis zéro jusqu'à n; que le coefficient de chaque terme se forme du précédent en le multipliant par l'exposant de x dans ce terme, et le divisant par le nombre des termes précédents.

Il est facile de voir d'après cela que la substitution de x --- h à x dans le polynôme (1) donnera pour terme indépendant ce polynôme lui-même, et pour coefficients des puissances ascendantes de h, les polynômes suivants :

pième par

divisés, le premier par 1, le second par 1.2, le pième 1.2.3...p et le dernier par 1.2...m.

Le premier de ces polynômes se nomme le premier polynôme dérivé du premier (1); le second est le premier polynôme dérivé de ce polynôme dérivé, en suivant la même loi que pour obtenir celui-ci d'après le proposé; on le nomme le second polynôme dérivé du proposé, et ainsi de suite jusqu'au dernier.

D'après cela, si l'on représente le polynôme (1) par F(x), et ses polynômes dérivés successifs, qu'on nomme aussi les

fonctions dérivées, ou simplement les dérivées de la fonction F(x), par F'(x), F" (x), ..., F(P) (x), on aura la formule suivante :

212. La première dérivée F'(x) du polynôme F(x), qui est le coefficient de la première puissance de h dans le développement de F(x+h), peut être envisagée sous un autre point de vue qui nous conduira plus tard à une définition applicable à toutes les fonctions, même à celles pour lesquelles on ne saurait effectuer le développement de F(x+h), et auxquelles, par conséquent, la définition précédente des dérivées ne pourrait être appliquée.

L'équation (2) conduit facilement à la suivante:

Or il est évident que, si l'on fait tendre h vers la limite zéro, le second membre tend vers la limite F'(x); le premier tend donc aussi vers la limite F'(x), et l'on peut dire par conséquent que:

La première dérivée d'un polynome est la limite du rapport de l'accroissement de ce polynome à l'accroissement correspondant de la variable x, lorsque ce dernier tend vers zéro.

Mais pour le moment nous restons dans la première définition, parce que nous ne nous proposons ici de considérer que des fonctions entières et rationnelles de x, d'où elle tire son origine.