CHAPITRE XXV.

MÉTHODE DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS.

199. Lorsqu'on connaît la forme d'une fonction de x, et qu'il n'y a d'inconnu que certaines constantes qu'elle renferme, on cherche par les moyens ordinaires les équations qui résultent des conditions de la question, et, lorsqu'on en a tiré les valeurs des inconnues, la fonction est complétement déterminée.

Dans beaucoup de questions ces constantes inconnues sont les coefficients des différentes puissances de polynômes, et dans ce cas on les appelle ordinairement des coefficients indéterminés. Les signes seront toujours entendus comme précédemment pour la généralité des résultats; nous nous dispenserons dorénavant d'en prévenir.

200. Pour en donner un premier exemple, supposons qu'on veuille trouver le quotient de deux polynômes et le reste de la division. Soient ces deux polynômes:

On demande que le

m étant supposé plus grand que n. On demande quotient soit poussé jusqu'au terme indépendant de x, et que, par conséquent, le reste soit un polynôme de degré n

I.

Le quotient et le reste auront respectivement les formes

Les inconnues α, 6, , μ, M,

pelle des coefficients indéterminés; et pour avoir les équations qui en feront connaître la valeur, il suffit de se rappeler que, d'après la manière dont s'obtient le reste de la division, si l'on fait le produit du diviseur par le quotient, et qu'on y ajoute le reste, la somme réduite sera un polynôme identique terme pour terme au dividende. C'est donc cette identité qui est la condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes (3) et (4) soient l'un le quotient, l'autre le reste demandé.

Le produit des polynômes (2), (3) renfermera les coefficients a, 6, ..., au premier degré seulement, et, en y ajoutant le reste (4), on obtiendra un polynôme du degré m, dont les coefficients ne renfermeront qu'au premier degré tous les coefficients indéterminés du quotient et du reste. Égalant, comme nous avons dit qu'il fallait faire, les coefficients de ce polynôme aux correspondants du dividende (1), on aura m équations du premier degré entre les m inconnues a, 6, . . ., u, M, N, ..., S ; c'est à la résolution de ces équations que le problème proposé se trouve ramené, et la forme de ces équations rend cette résolution extrêmement facile.

201. Si, au lieu de chercher le quotient et le reste, on avait voulu connaître les conditions pour que la division réussît exactement, le reste devant être zéro, par la réduction des termes semblables, les coefficients désignés par M, N, ..., S devraient être nuls, et le nombre des inconnues serait réduit à mn. Mais comme le nombre des équations

à satisfaire est toujours m, il y aurait n équations de condition entre les coefficients A, B, U, a, b, on les obtiendrait en éliminant a,

équations.

,

6,

..., q; et 9; ..., μ entre les m

Nous avons déjà traité cette question par un autre procédé dans le Chapitre XVII.

202. Descartes, à qui l'on doit la première idée de cette méthode, y a été conduit lorsque, dans la solution du problème des tangentes par le calcul, il a eu à trouver les conditions pour qu'un polynôme de degré quelconque en x admette un diviseur qui soit le carré d'un binôme du premier degré. Il a remarqué qu'il fallait pour cela que ce polynôme fût le produit d'un binôme de la forme

a, 6, ..., μ pouvant être des quantités quelconques. Il fait alors le produit de ce dernier par x2-2 axa2, et, après la réduction des termes semblables, il égale les coefficients des différentes puissances de x à ceux du polynôme proposé, ce qui donne m équations. Il en élimine les m m2 indéterminées a, 6, ..., p., et il reste deux équations qui ne renferment plus que a et les coefficients donnés. Si a n'est pas fixé, on l'éliminera lui-même, et l'on aura la condition à laquelle doivent satisfaire les coefficients du polynôme pour qu'il ait un facteur du second degré qui soit un carré parfait. Si a était un nombre donné, il y aurait deux équations de condition entre les coefficients.

Descartes a encore appliqué cette méthode à la décomposition d'un polynôme du quatrième degré en deux facteurs du second. Nous renverrons au Chapitre suivant la

solution de cette importante question, qu'il s'était proposée pour la résolution des équations du quatrième degré.

203. Remarque. La méthode des coefficients indéterminés s'applique à un grand nombre de questions diverses, et nous en donnerons des exemples par la suite. Ce que nous en avons dit suffit pour que l'on comprenne bien en quoi elle consiste; mais nous devons mettre en garde contre l'abus qu'on en peut faire et qu'on en a souvent fait. Nous avons dit généralement que, pour qu'une question fût complétement résolue, il était nécessaire de démontrer que les solutions trouvées renferment toutes celles que comporte la question, et n'en renferment pas d'étrangères; mais on se dispense souvent de faire cette démonstration, et malheureusement elle est quelquefois bien difficile: tout ce que l'on peut dire alors, c'est qu'il ne faut pas ignorer l'imperfection de la solution, ni surtout chercher à la cacher à ceux qu'on instruit.

Dans la méthode que nous venons d'exposer, si la forme des fonctions cherchées n'était pas démontrée d'avance, et qu'on se la proposât hypothétiquement, il ne suffirait de déterminer les coefficients inconnus en faisant usage pas des conditions de la question. Cette détermination ne serait elle-même qu'hypothétique, et il n'y a aucune raison générale de croire que l'impossibilité de la forme supposée serait annoncée par des contradictions dans les équations qui donneraient les valeurs des coefficients. Il est toujours nécessaire de démontrer que les solutions trouvées satisfont bien réellement à la question proposée, et même de reconnaître si elle ne pourrait pas en comporter d'autres. Tout cela peut être pénible, mais il faut s'y résoudre, ou consentir à n'avoir résolu qu'imparfaitement la question.

CHAPITRE XXVI.

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU TROISIÈME
ET DU QUATRIÈME DEGRÉ.

204. Nous avons démontré précédemment que la résolution générale des équations du second degré à une seule inconnue pouvait être ramenée à celle d'équations du premier degré. Nous allons faire voir généralement que les équations du troisième degré peuvent toujours être ramenées à celles du second; et les équations du quatrième degré à celles du troisième et du second. Malheureusement c'est là que s'arrête la possibilité des solutions générales ; et pour les équations de degré supérieur au quatrième, on ne peut donner généralement que des procédés pour la résolution de cas particuliers.

ÉQUATIONS DU TROISIÈME Degré.

205. L'équation la plus générale du troisième degré peut se mettre sous la forme

Avant de résoudre cette équation générale, considéronsen le cas le plus simple, celui où elle ne renfermerait d'inconnu que le seul terme x3.

Si l'on extrait la racine cubique de la valeur absolue du terme tout connu, et qu'on la désigne par a, l'équation pourra avoir, suivant le signe du terme connu, les

D. Sc. de rais., 2o Part.

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