CHAPITRE XV.

FORMULES GÉNÉRALES POUR LES DIVERS CAS QUE
PRÉSENTENT LES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ
A DEUX INCONNUES.

116. Nous avons donné un moyen d'obtenir des résultats indépendants des valeurs numériques des données des questions d'espèce quelconque. Ce moyen consiste à représenter ces données par des lettres, et à suivre la même marche que pour une question particulière de même espèce. Nous devrons donc dans le cas actuel représenter par des lettres les coefficients des inconnues x et y, ainsi que les termes tout connus, et appliquer la règle de résolution que nous venons d'indiquer.

Nous généraliserons ainsi sous le rapport des nombres; mais, comme les équations comportent diverses combinaisons pour les signes des termes, il sera nécessaire d'avoir les formules générales des inconnues x et y, pour les divers systèmes d'équations correspondant à ces différentes combinaisons de signes, réduites au plus petit nombre possible.

Nous pouvons toujours faire passer les termes tout connus dans un même membre où les soustractions soient possibles, de sorte qu'il n'y a lieu de considérer que les diverses combinaisons de signes des membres qui renferment x et y, et dont encore on pourrait omettre celles où toutes les soustractions sont impossibles dans les premiers membres. Chacun de ces derniers donnerait ainsi trois combinaisons possibles de termes positifs et néga

tifs, qui pourraient être considérées successivement avec toutes celles de l'autre. Il faudrait considérer ces neuf cas séparément, si l'on voulait distinguer la première équation de la seconde; sans quoi il y en aurait quelques-uns qui rentreraient les uns dans les autres.

Nous allons chercher les formules qui se rapportent à quelques-unes de ces combinaisons de signes.

1o Considérons d'abord le cas le plus simple et le plus facile à retenir, celui où tous les termes sont positifs; et soient les deux équations

En tirant la valeur de y de la première, et la reportant dans la seconde, on obtient

et il est facile de voir que le système des équations (1) et (2) est équivalent à celui des deux suivantes:

D'abord ce dernier, étant conséquence du premier, sera satisfait par les valeurs de x et y qui satisfont au premier. En second lieu, supposons que certaines valeurs mises pour x et y satisfassent à (1) et (3); il s'ensuivra d'après (1) sera égal à la valeur mise pour y, et par conséquent (3) apprend que, pour les valeurs substituées, la somme ax + b'y est égale à c', comme l'exige l'équation (2). Donc le système des valeurs substituées à x et y

que

b

ax

dans (1) et (3) satisfera aussi aux équations proposées (1) et (2).

Ce raisonnement que nous venons de faire avec beaucoup de détail se représentera souvent, et nous ne le reproduirons que très-succinctement.

Maintenant il est facile de trouver les valeurs de x et y qui satisfont à (1) et (3), puisque cette dernière ne renferme qu'une inconnue.

et, la reportant dans (1), on trouvera

Telles sont les formules des valeurs de x et y qui résolvent le système (1) et (2), quelles que soient les valeurs des données a, b, c, d, b', c'. Et nous devons dire qu'on pourrait aussi bien les écrire en changeant le sens des soustractions à leurs numérateurs et dénominateurs, parce qu'on ne sait pas de quel côté faire passer les termes tant que les coefficients restent généraux. Nous avons vu comment il fallait traiter la forme singulière qui pouvait en résulter dans les cas particuliers.

Prenons maintenant la combinaison suivante des signes

Ces formules, qui sont différentes de (4) et (5), donnent la solution des équations (6) et (7), quelles que soient les valeurs des données a, b, c,

117. Considérons encore cette autre combinaison de

qui conviendront aux équations (10), (11), quelles que soient les valeurs numériques attribuées aux lettres a, b, c.

On trouverait de même les formules qui se rapporteraient aux autres combinaisons de signes; et leur ensemble donnerait la solution complète des équations du premier degré à deux inconnues.

118. Remarque. Les équations à trois inconnues se ramèneraient au cas de deux inconnues, en tirant de l'une

des trois la valeur d'une inconnue exprimée au moyen des deux autres et la substituant dans les deux autres équations. Par les raisons que nous avons données ci-dessus, nous ne nous en occuperons pas. Mais on doit juger combien se trouverait augmenté le nombre des combinaisons des signes dans les trois premiers membres, et combien il deviendrait difficile de retenir les formules relatives à ces divers systèmes. Et la difficulté serait telle pour un nombre plus grand d'équations, qu'il faudrait renoncer à conserver le tableau de toutes les formules nécessaires à la solution complète, et se borner à les chercher dans le cas particulier dont on aurait besoin.