La valeur de x qui satisfait à la dernière équation est

Telle est la formule qui résout généralement la question.

101. Un père laisse un héritage a, qui doit étre partagé de la manière suivante entre ses trois enfants : la part du second doit étre égale à m fois celle du premier, moins b; et la part du troisième, la nième partie de celle du second, plus c. Quelles sont les trois parts?

Si la première part est désignée par x, la seconde le sera

par mx-b, et la troisième par

m x

n

b

+ c.

Si ce sont là les trois parts, leur somme sera a, d'où résulte la relation suivante :

La question proposée est donc ramenée à la solution de celle qui est exprimée par cette relation. Si l'on multiplie par n les deux quantités égales, les produits seront égaux, et réciproquement; et comme nous savons qu'on multiplie une somme ou une différence en multipliant tous les termes, la solution de l'équation précédente se ramène à celle de la suivante :

ajoutant de part et d'autre nb + b et retranchant nc, on est ramené à

d'où

an - nb - b

no

X

n -- nm -+- m

Telle est la solution de la question générale. Pour l'appliquer au cas particulier précédent, il faudrait supposer

et la formule donnerait x 30 000, comme nous l'avions trouvé en traitant directement ce cas particulier.

102. Résolvons encore généralement le quatrième des problèmes précédents.

Soit a la somme des áges du frère et de la sœur. La sœur doit avoir aujourd'hui m fois l'áge qu'elle avait lorsque son frère avait n fois celui qu'elle a aujourd'hui. Quels sont ces áges?

Soit x l'âge qu'avait la sœur à la première époque; elle aura aujourd'hui l'âge mx, et par conséquent la distance des époques sera mx x. Le frère devait avoir nmx à la première époque, et par conséquent il a aujourd'hui nmxm X x; et, comme la somme de leurs âges actuels est a, on devra avoir

La solution de la question proposée l'est donc de celle qu'exprime cette relation, et réciproquement. Cette égalité peut s'écrire ainsi :

x est donc le quotient de a par 2 m + nm

I, Ou

Cette solution générale donnerait celle du cas particulier que nous avons traité, en donnant à a, m, n les valeurs suivantes :

103. Remarque. Il est juste de dire que dans Euclide. et Archimède les nombres sont souvent représentés par de simples lettres quand on veut parvenir à des propositions générales; mais on n'y trouve aucun signe pour indiquer les opérations à exécuter; le langage ordinaire est employé à cet effet, ce qui rend les démonstrations très-difficiles à suivre. Quelquefois Euclide représente les nombres par des lignes, ce qui lui permet de représenter de même le résultat d'additions ou de soustractions, et même de multiplications ou divisions.

CHAPITRE XII.

DES OPÉRATIONS SUR LES QUANTITÉS DONT L'EXPRESSION EST LITTÉRALE.

104. Les quantités dont il s'agit n'étant données que par l'indication des opérations à faire pour les obtenir, le résultat d'opérations quelconques à effectuer sur elles ne peut être aussi qu'une indication d'opérations; mais ce qu'on demande, c'est l'indication la plus simple.

Nous ne nous occuperons pas des règles à suivre pour obtenir ce résultat; nous renvoyons pour cela aux traités spéciaux, et nous ne nous proposons ici que d'éclaircir les points qui peuvent offrir quelque difficulté et de faire ressortir l'application des méthodes exposées dans notre première Partie, d'où peuvent souvent résulter des méthodes particulières propres à la science que nous étudions.

Nous admettrons donc comme bien établis les procédés pour effectuer sur les monômes et les polynômes des additions, soustractions, multiplications, divisions et extractions de racines, et nous nous bornerons 'à quelques remarques nécessaires pour éviter toute fausse interprétation.

RÈGLE DES SIGNES DANS LA MULTIPLICATION
DES POLYNOMES.

105. Quand on multiplie deux polynômes l'un par l'autre, les différents termes du produit sont toujours formés par la multiplication d'un terme du multiplicande par un terme du multiplicateur; le signe de ce terme est + quand les deux termes qu'on a multipliés ont le même signe dans

leurs polynômes respectifs; et le signe est — quand ils ont des signes différents. Dans cette manière d'énoncer la règle, on entend que le premier terme qui n'est précédé d'aucun signe sera regardé comme affecté du signe +, signe qu'il aurait effectivement si on le changeait de place dans le polynôme. Cette règle des signes a été démontrée sans difficulté, et nous l'admettrons; mais nous ferons bien. observer qu'elle n'a de sens et qu'elle n'a été démontrée que dans le cas où les termes affectés du signe précédés de termes additifs dont ils doivent être retranchés.

sont

106. Quant à l'ordre des termes dans ces polynômes, il peut être choisi pour certains avantages, de telle sorte que les termes négatifs ne soient pas précédés d'assez de termes positifs pour pouvoir être retranchés. Mais il faut toujours entendre que l'ensemble des termes négatifs est à retrancher de l'ensemble des termes positifs, et faire les démonstrations dans ce sens. Et s'il est plus commode d'ordonner les termes de manière à leur faire indiquer des opérations impossibles, et même de commencer par un terme négatif, il n'y a aucun inconvénient, pourvu qu'on suive les règles démontrées d'après la signification réelle, et qui donneront le même résultat, sauf l'ordre des termes, que l'on trouverait en disposant les termes des polynômes sur lesquels on opère, de manière à éviter toute indication d'opération impossible.

Et quant à la composition des termes du produit, on reconnaît facilement qu'ils résultent toujours de la multiplication d'un terme du premier par un terme du second; que chaque terme du premier sera ainsi combiné avec tous ceux du second, mais une seule fois avec chacun; de sorte qu'on aura les mêmes termes identiquement au produit, quel que soit celui des deux polynômes qu'on prenne pour le multiplicande.