» proponitur, et hìc quoque demonstratio reciprocè res» pondebit analysi. Si verò incidamus in conclusionem im» possibilem, erit etiam problema impossibile. Diorismus >> autem, sive determinatio, est quà discernitur quibus con>> ditionibus quotque modis problema effici possit. » Atque hæc de resolutione et compositione dicta >> sunto. >> 52. Ce remarquable passage de Pappus peut être traduit de la manière suivante : » Le lieu appelé άvaλvóμevos, ô mon fils Hermodore, est, pour parler sommairement, une certaine matière qui vient après l'établissement des éléments ordinaires, et est destinée à ceux qui veulent acquérir de la force pour découvrir la solution des problèmes de Géométrie qui peuvent leur être proposés; c'est dans ce but unique qu'elle a été créée. Trois géomètres ont écrit sur ce sujet : Euclide, l'auteur des Éléments, Apollonius de Perge, et le vieux Aristée. On y procède par analyse et par synthèse. » L'analyse est la route qui part de ce qu'on cherche, comme si c'était accordé, et conduit, par les conséquences qu'on en tire, à quelque chose qui soit réellement accordé. » Dans l'analyse, supposant faite la chose demandée, nous cherchons de quelle autre elle se déduirait, et de même de laquelle se déduirait cette dernière, jusqu'à ce que par cette marche rétrograde nous rencontrions quelque chose de connu ou rangé parmi les principes. Et nous donnons à cette marche le nom d'analyse (résolution), comme pour dire solution en sens inverse. » Dans la synthèse, au contraire, admettant comme faite la dernière chose à laquelle l'analyse avait conduit, et disposant suivant l'ordre naturel les choses qui se précéderont ici, et qui se suivaient au contraire dans l'analyse, on parvient enfin à la construction. DE L'ANALYSE ET DE LA SYNTHÈSE CHEZ LES ANCIENS. 65 » Il Il y a deux genres d'analyse : l'un a pour objet la démonstration de la vérité, et se nomme théorétique; l'autre, l'exécution d'une chose proposée, et se nomme problématique. » Dans le genre théorétique, supposant vraie la chose en question, et regardant comme vraies les conséquences qui s'en déduisent, comme elles le sont en effet d'après l'hypothèse, nous avançons jusqu'à ce que nous parvenions à quelque chose de connu. Si cette chose est vraie, la proposée le sera aussi, et la démonstration se fera en sens inverse de l'analyse; mais si nous sommes parvenus à une chose reconnue fausse, la proposée sera fausse elle-même. Dans le genre problématique, nous regardons comme exécuté ce qui est proposé, et, en suivant les conséquences qui en résultent, nous tàchons de parvenir à quelque chose qui soit connu. Si cette chose est possible et exécutable, ce que les géomètres appellent donnée, la proposée le sera aussi, et la démonstration s'en fera en sens inverse de l'analyse; mais si la chose à laquelle nous sommes parvenus est reconnue impossible, le problème sera impossible luimême. La détermination est la discussion qui apprend quand, comment, et de combien de manières le problème est possible. » C'est là ce que nous avions à dire sur l'analyse et la synthèse. » DUH. - Méth. I. 20 5 CHAPITRE XI. OBSERVATIONS SUR L'ANALYSE DES ANCIENS. DE LA MÉTHODE ANALYTIQUE D'APRÈS EUClide. 53. D'après la définition qu'Euclide donne de l'analyse, on doit comprendre qu'il regarde une proposition comme démontrée lorsque l'on est parvenu à en déduire comme conséquence nécessaire une proposition reconnue vraie. Les exemples qu'il présente pour la faire comprendre confirment entièrement cette opinion; car, lorsqu'en partant de la proposition à démontrer il parvient par des déductions exactes à une vérité connue, il se borne à dire : Or cela est; et il s'arrête sans prendre la peine de conclure. Il regarde donc comme évident que, dès qu'il est arrivé à quelque conséquence vraie, la proposition d'où il est parti l'est aussi. S'il en est ainsi, sa méthode est défectueuse, puisque nous avons établi que des propositions fausses pouvaient conduire à des conséquences vraies. Il faut qu'il ait ignoré qu'Aristote avait mis cela hors de doute. DE LA MÉTHODE ANALYTIQUE D'APRÈS PAPPUS. 54. Pappus commence par définir l'analyse comme Euclide, puisqu'il dit que c'est « la route qui part de ce qu'on cherche comme si c'était accordé, et conduit, par les conséquences qu'on en tire, à quelque chose qui soit réelle ment accordé. » Mais ce qui suit porterait à croire qu'il l'entend autrement. Il continue en effet en ces termes : « Dans l'analyse, supposant faite la chose demandée, nous cherchons de quelle autre elle se déduirait, et de méme de laquelle se déduirait cette dernière, etc. » Dans ce passage, la méthode est bien présentée. Lequel des deux exprime la vraie pensée de Pappus? Ce sont les développements qui suivent qui pourront conduire à se faire une opinion à cet égard. Examinons d'abord ce qu'il dit de l'analyse théorétique qui a pour objet la démonstration de la vérité. « Dans le genre théorétique, dit-il, supposant vraie la chose en question, et regardant comme vraies les choses qui s'en déduisent, nous avançons jusqu'à ce que nous parvenions à quelque chose de connu. Si cette chose est vraie, la proposée le sera aussi, et la démonstration se fera en sens inverse de l'analyse; mais si nous sommes parvenus à une chose reconnue fausse, la proposition sera fausse elle-même. » Ici il n'y a plus de doute, la méthode est la même que celle d'Euclide, et par conséquent défectueuse. Mais il est à remarquer qu'il ne regarde pas la démonstration comme faite par l'analyse, quoiqu'il dise que la proposition d'où l'on part est vraie si elle a conduit à quelque chose de vrai; il exige que la démonstration se fasse synthétiquement en partant de la proposition vraie où s'arrête l'analyse. Ce double procédé empêchera l'erreur; mais la première partie serait insuffisante, et il ne s'en est pas aperçu. Au contraire, l'analyse telle que nous l'avons présentée ci-dessus se suffit à elle-même, et n'a pas besoin d'étre suivie de la démonstration synthétique. Et l'insuffisance de sa première partie est telle, qu'en partant de la dernière proposition, reconnue vraie, il n'en déduira jamais la proposée si les propositions successives ne sont pas toutes réciproques 68 CHAP. XI. OBSERVATIONS SUR L'ANALYSE DES ANCIENS. les unes des autres; circonstance fortuite, et dont il ne fait pas mention. 55. Passons maintenant à la résolution des problèmes. « Dans le genre problématique, dit Pappus, nous regardons comme exécuté ce qui est proposé, et, en suivant les conséquences qui en résultent, nous tàchons de parvenir à quelque chose qui soit connu........ Si cette chose est exécutable, la proposée le sera aussi. » Pappus suppose donc que, si le dernier problème est résolu, le premier le sera. Or nous avons prouvé qu'il n'en était pas toujours ainsi la méthode de Pappus est donc encore imparfaite pour la résolution des problèmes. Mais les solutions étrangères qu'elle peut introduire, et dont il ne fait pas mention, se reconnaîtraient en suivant, comme il le prescrit ensuite, la marche synthétique qui conduit du dernier problème au proposé. Néanmoins, au point de vue de la complète rigueur et de la dignité de la science, nous ne pouvions nous dispenser de signaler cette imperfection. 56. Il y a encore un autre reproche à faire aux anciens géomètres qui ont employé l'analyse dans la résolution des problèmes. Lorsque, partant du problème supposé résolu, ils arrivent par une suite de déductions à un problème connu, ils ne se contentent pas toujours de démontrer synthétiquement que les solutions de ce dernier satisfont au premier ce qui est nécessaire, comme nous l'avons montré, puisque leur procédé peut en introduire d'étrangères; mais ils se croient encore obligés de démontrer qu'il n'en existe pas d'autres. Or cela est inutile, puisque nous avons établi que ce procédé de déduction pouvait bien introduire des solutions étrangères, mais qu'il ne pouvait en faire perdre. Cela ferait croire qu'ils ne comprenaient pas bien nettement la valeur de leur méthode. |