COMMENT ON DÉMONTRE LA FAUSSETÉ D'UNE PROPOSITION.

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sonnements justes une proposition fausse, ou incompatible avec l'une des précédentes.

Et l'on peut remarquer que cette marche est analytique, puisqu'elle prend pour point de départ la proposition en question, et 'qu'elle conduit à la dernière par des conséquences nécessaires.

COMMENT ON RECONNAÎT SI UNE PROPOSITION ÉNONCÉE

EST VRAIE OU FAUSSE.

48. Pour reconnaître si une proposition est vraie, on procédera comme si on voulait prouver qu'elle l'est; et si l'on y parvient, la question sera décidée. Si l'on ne peut réussir à la déduire de propositions reconnues vraies, on n'a rien à en conclure; on n'a fait preuve que d'impuis

sance.

On essayera alors de reconnaitre si elle est fausse, et l'on procédera comme si l'on voulait prouver qu'elle l'est: c'està-dire que l'on cherchera à en déduire comme conséquence nécessaire quelque proposition fausse. Si l'on y parvient, la question sera décidée; mais si l'on n'y parvient pas, on restera dans le doute.

On voit donc que, pour reconnaître si une proposition est vraie ou fausse, on est ramené aux questions déjà traitées, qui ont pour objet de démontrer la vérité où la fausseté d'une proposition.

CHAPITRE IX.

MÉTHODE DE DÉMONSTRATION PAR LA CONSIDÉRATION DES PROPOSITIONS CONTRADICTOIRES,

OU MÉTHODE DE RÉDUCTION A L'ABSURDE.

49. Deux propositions, dont chacune est la simple négation de l'autre, sont ce que nous avons appelé contradictoires; et, par conséquent, comme nous l'avons remarqué, la vérité de l'une quelconque des deux entraîne la fausseté de l'autre, et réciproquement.

Il résulte de cette remarque une méthode indirecte pour démontrer la vérité d'une proposition, et qui consiste à en considérer la contradictoire et à en démontrer la fausseté. Le plus ordinairement, comme nous l'avons dit précédemment, cette proposition contradictoire renfermera plusieurs cas différents; et pour qu'elle soit démontrée fausse, il faut que chacun de ces cas le soit : car si un seul était vrai, la proposée ne le serait pas. On les considérera donc chacun successivement; et suivant la méthode donnée pour la démonstration de la fausseté, on fera voir que chacune de ces propositions étant admise conduit, par des raisonnements justes, à des conclusions, soit absurdes en ellesmêmes, soit contradictoires avec l'hypothèse ou avec l'une de ses conséquences.

Ce procédé détourné, mais souvent utile, se nomme réduction à l'absurde.

Elle a été beaucoup employée par les anciens géomètres, auxquels les sophistes ne permettaient pas les hardiesses de raisonnement que prennent si légitimement les modernes.

Remarque. - Il est inutile de dire qu'on prouverait la fausseté d'une proposition par la vérité de la contradictoire. Mais les cas où ce serait avantageux sont bien rares, et quand on a à prouver la fausseté d'une proposition, c'est presque toujours au contraire pour prouver la vérité de la contradictoire.

Actuellement que nous avons développé notre doctrine et exposé nos méthodes de raisonnement, nous croyons indispensable de discuter rapidement celles qui les ont précédées, et dont quelques-unes sont l'origine et la base des nôtres.

CHAPITRE X.

DE L'ANALYSE ET DE LA SYNTHÈSE CHEZ LES ANCIENS.

50. Après avoir exposé avec détail la manière dont nous entendons ces méthodes, il est utile de faire connaître exactement ce qu'elles ont été avant nous.

On trouve dans le treizième livre des Éléments d'Euclide les définitions suivantes de l'analyse et de la synthèse.

« Qu'est-ce que l'analyse et qu'est-ce que la synthèse ? » L'analyse est l'admission de la chose cherchée comme accordée, pour en déduire des conséquences qui conduisent à quelque vérité accordée.

» La synthèse au contraire consiste à partir de choses accordées, et à en déduire des conséquences qui conduisent à la connaissance de la chose cherchée. »

51. Pour donner une idée plus complète de la manière dont les anciens entendaient ces deux méthodes, nous citerons le passage suivant, qui commence le septième livre des Collections mathématiques de Pappus d'Alexandrie, traduites en latin par Halley:

« Locus de resolutione inscriptus, Hermodore fili, ut paucis dicam, propria quædam est materia in eorum usum designata, qui perceptis communibus elementis, in » Geometrià facultatem sibi comparare desiderant investi» gandi solutiones propositorum problematum ; et in hunc >> finem solummodo utilis. Traditur autem à tribus viris, Eu

DE L'ANALYSE ET DE LA SYNTHÈSE CHEZ LES ANCIENS. 63 »clide nempè Elementorum scriptore, Apollonio Pergæo et >> Aristao seniore. Procedit verò per modum resolutionis et » compositionis. Resolutio autem est methodus quà à quæ» sito quasi jam concesso, per ea quæ deindè consequuntur >> ad conclusionem aliquam, cujus ope compositio fiat, per» ducamur. In resolutione enim, quod quæritur ut jam fac>> tum supponentes, ex quo antecedente hoc consequatur » expendimus; iterùmque quodnam fuerit ejus antecedens; » atque ita deinceps, usque dùm in hunc modum regre» dientes, in aliquid jam cognitum, locoque principii ha» bitum, incidamus. Atque hic processus analysis vocatur, » quasi dicas, inversa solutio. E contrario autem in com» positione, cognitum illud, in resolutione ultimo loco ac» quisitum, ut jam factum præmittentes; et quæ ibi con» sequentia erant, hic ut antecedentia naturali ordine » disponentes, atque inter se conferentes, tandem ad con>>>structionem quæsiti pervenimus. Hoc autem vocamus » synthesin.

» Duplex autem est analyseos genus: vel enim est veri » indagatrix, diciturque theoretica; vel propositi investi» gatrix, ac problematica vocatur.

» In theoretico autem genere, quod quæritur reverà ita » se habere supponentes, ac deindè per ea quæ conse» quuntur, quasi vera sint (ut sunt ex hypothesi) argu>> mentantes, ad evidentem aliquam propositionem proce» dimus. Jam si conclusio ista vera sit, vera quoque est » propositio de quâ quæritur; ac demonstratio reciprocè » respondet analysi. Si verò in falsam conclusionem inci» damus, falsum quoque erit de quo quæritur.

» In problematico verò genere, quod proponitur ut jam » cognitum sistentes, per ea quæ exindè consequuntur, » tanquam vera, perducimur ad conclusionem aliquam; ποριστή, ma» quod si conclusio ista possibilis sit, ac Topio, quod » thematici datum appellant, possibile quoque erit quod