étrangères, ou découvrir celles qui manquent. Malheureusement il en est souvent autrement; et quand on ne peut se dispenser de subir l'un ou l'autre inconvénient, il faut au moins ne pas l'ignorer.

DÉCOMPOSITION DE LA QUESTION.

36. Lorsqu'il arrivera que la question, de quelque genre qu'elle soit, puisse être décomposée en plusieurs autres, susceptibles d'être traitées indépendamment les unes des autres, il est évident que la première réduction à faire sera de substituer ces questions partielles à la proposée : on aura ainsi ramené cette dernière à d'autres plus simples. Et même, si ces questions partielles ne sont pas indépendantes, et ne peuvent être traitées isolément, il y aura encore avantage à faire la décomposition, parce qu'il sera généralement plus facile de ramener ces questions déjà plus simples à d'autres plus simples encore, que de faire la réduction sur la proposée, qui est plus compliquée puisqu'elle les renferme toutes.

La décomposition de la question en plusieurs autres est donc la première réduction à faire quand elle est possible, et cela est si naturel, qu'il est presque superflu d'en avertir.

OBSERVATION.

37. Nous avons donné le nom de problème à toute question où l'on indique le résultat qu'on veut obtenir, et où l'on demande les moyens d'y parvenir. Dans cette définition générale sont renfermées les questions où l'on prode déterminer des choses de nature désignée, ayant pose des rapports indiqués avec des choses données, et l'on peut même dire que ces dernières renferment toutes les autres,

DUH. Méth. I.

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parce que, de quelque manière qu'on exprime le résultat demandé, il pourra toujours se ramener à la détermination de choses d'une nature déterminée. Si cependant on tenait à rester dans ces termes moins précis, et en apparence plus généraux, il n'y aurait que les expressions à changer dans tout ce qui précède. Au lieu de dire qu'on substitue à la recherche de la chose demandée celle d'une autre chose d'où l'on déduira celle-ci, on dirait qu'au lieu du résultat demandé on cherche à en obtenir un dont celui-ci se déduira, et ainsi de suite. La méthode consistera toujours à partir soit du résultat, soit de la chose qu'on demande, en un mot de la fin qu'on se propose, et de lui en substituer un plus facile, et qui entraînera celle-ci par des moyens

connus.

CHAPITRE VI.

DE LA SYNTHÈSE.

38. La synthèse ne diffère de l'analyse que par le renversement de l'ordre des théorèmes ou problèmes, terminés d'une part au proposé et de l'autre à quelque chose de connu. Considérons successivement ces deux genres de questions.

DÉMONSTRATION DES THÉORÈMES PAR LA MÉTHODE SYNTHÉTIQUE.

39. Cette méthode consiste à partir de propositions reconnues vraies, à en déduire d'autres comme conséquences nécessaires, de celles-ci de nouvelles, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on parvienne à la proposée, qui se trouve alors reconnue elle-même comme vraie. Elle n'est donc autre chose qu'une méthode de déduction. D'où l'on voit que, si l'on connaissait la démonstration analytique d'un théorème, on en obtiendrait immédiatement la démonstration synthétique en renversant l'ordre des propositions.

OBSERVATIONS SUR CETTE MÉthode.

40. Si l'on cherche une démonstration d'un théorème énoncé, et que pour cela on se propose d'en faire, suivant la méthode synthétique, la dernière conséquence d'une suite de théorèmes déduits les uns des autres en partant de propositions admises, la difficulté sera de choisir celles qu'il convient de prendre pour point de départ et pour con

séquences. Et si rien ne les désigne et qu'on les prenne au hasard, on pourra faire un nombre indéfini d'essais infructueux, et un pareil procédé ne mériterait pas le nom de méthode.

Mais s'il s'agit seulement de communiquer aux autres une démonstration que l'on connaît, on saura de quelle proposition admise il faut partir, et quelles sont celles qu'on en doit déduire successivement jusqu'à celle qui est à démontrer. Le seul inconvénient, dans ce cas, consiste en ce que celui qu'on instruit est conduit en quelque sorte à l'aveugle, et sans se rendre compte si les pas qu'on lui fait faire le rapprochent ou l'éloignent de son but.

41. Comparons, dans ces deux cas, la synthèse à l'analyse.

1° Supposons d'abord le cas où l'on veut trouver la démonstration d'une proposition énoncée. La marche analytique consiste à la ramener à une autre dont elle soit la conséquence; il y a bien là quelque incertitude, mais le point de départ est connu. Après ce premier pas on en fait un second semblable, en partant de la proposition déterminée que l'on vient d'obtenir; et l'on continue ainsi jusqu'à ce qu'on soit ramené à une proposition connue. On pourra sans doute n'y jamais parvenir; mais, à chaque réduction que l'on tente, on sait de quelle proposition on doit partir pour en chercher une dont elle se déduirait.

Par la méthode synthétique, au contraire, on ne sait par où l'on doit commencer, ni quelles conséquences tirer, à moins que l'on n'ait aperçu une certaine liaison entre des propositions admises et celle qu'on veut démontrer, auquel cas on aurait plus ou moins complétement suivi la marche analytique.

2° S'il s'agissait seulement de communiquer aux autres une démonstration que l'on connaît, l'analyse leur offre

:

toujours l'avantage d'un point de départ assuré qui est le théorème proposé; et l'on saisit à peu près aussi facilement la réduction de chacun de ceux qu'on considère à celui dont il serait la conséquence, que les déductions successives que présente la synthèse. Il reste donc à cette dernière le grave inconvénient de ne pas donner la raison qui a fait choisir le point de départ, ainsi que chacune des conséquences successives; la mémoire y joue un grand rôle on apprend plus difficilement, et l'on retient moins bien. Ce n'est pas à dire pour cela qu'on doive toujours préférer la marche analytique. Il est souvent plus simple de déduire que de ramener une proposition à une autre dont elle se déduise. On pourra donc quelquefois, soit au commencement, soit dans le courant d'une démonstration, poser des propositions vraies dont rien ne montre la liaison avec celles auxquelles on a été ramené, puis en déduire des conséquences qui conduisent au but plus promptement, quoique par une route moins éclairée. L'art consiste à employer le mieux possible les deux méthodes, sans s'attacher exclusivement à l'une ou à l'autre ; et il ne faut pas perdre de vue que, n'ayant d'autre objet que d'aider l'esprit humain, elles doivent se plier un peu à ses faiblesses, et le rebuter le moins possible.

RÉSOLUTION DES PROBLÈMES PAR LA MÉTHODE SYNTHÉTIQUE.

42. Par la méthode analytique on ramène le problème proposé à un second, celui-ci à un troisième, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on parvienne à un problème qu'on sache résoudre. La méthode synthétique, au contraire, consiste, à partir de ce dernier, à déduire de sa solution celle de l'avant-dernier, de celle-ci celle du précédent, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive au proposé dont on obtient ainsi la solution.