La proposée pourra donc encore, dans ce cas, être. formée par la multiplication de deux facteurs réels du second degré. 37. Tels sont les résultats algébriques de la résolution des équations générales des troisième et quatrième degrés ; ils s'accordent bien avec les lois de la composition des équations, mais leur application numérique est souvent très pénible et fort peu satisfaisante. L'expression des racines des équations du troisième degré est composée de deux parties (19), de telle sorte qu'en effectuant séparément les extractions de racines indiquées dans chacune, on ne parvient quelquefois qu'à des valeurs approchées, pour des racines qui sont cependant des nombres entiers. Cet inconvénient augmente encore pour le quatrième degré; car si l'on voulait exprimer immédiatement par leurs coefficiens les racines des équations de ce degré, il faudrait, sous les radicaux du second degré qui affectent les racines z', z", z" de la réduite, mettre des expressions contenant déjà des radicaux du troisième degré, sur des radicaux du deuxième. La difficulté du cas irréductible du troisième degré, s'introduisant alors dans le quatrième, et ayant de même lieu dans les degrés supérieurs, augmente encore beaucoup l'imperfection de la résolution littérale des équations de ces degrés. Ce sont ces défauts que Lagrange avait en vue, lorsqu'il disait : « On peut assurer d'avance, que quand "même on parviendrait à résoudre généralement le » cinquième degré et les suivans, on n'aurait par là » que des formules algébriques précieuses en elles» mêmes, mais très peu utiles pour la résolution effec »tive et numérique des équations des mêmes degrés, » et qui, par conséquent, ne dispenseraient pas d'avoir >> recours aux méthodes arithmétiques (*). » D'après des motifs d'un aussi grand poids, j'ai cru ne devoir donner dans les Elémens d'Algèbre que la résolution numérique des équations, qui « est, à » proprement parler, une opération arithmétique fon » dée, à la vérité, sur les principes généraux de la » théorie des équations, mais dont les résultats ne sont » que des nombres où l'on ne reconnaît plus les pre>> miers nombres qui ont servi d'élémens (c'est-à-dire » les coefficiens de l'équation à résoudre), et qui ne » conservent aucune trace des différentes opérations » particulières qui les ont produits. L'extraction des » racines quarrées et cubiques est l'opération la plus » simple de ce genre ; c'est la résolution des équations » numériques du second et du troisième degré, dans » lesquelles tous les termes intermédiaires manquent.» Viète a sûrement été guidé par des considérations de ce genre, lorsque, dans son Traité de numerosa potestatum adfectarum resolutione, il a cherché à résoudre immédiatement les équations numériques par une suite d'opérations purement arithmétiques et combinées entre elles, à peu près comme le sont celles qu'on emploie pour extraire les racines des nombres. Si sa méthode était uniforme pour tous les cas qui peuvent se présenter, en sorte que, par une succession régulière des mêmes procédés, elle conduisît infailliblement à la ra (*) De la Résolution des Equations numériques de tous les degrés (2e édit., Avertissement, page viij). cine cherchée, lorsque cette racine est assignable exactement en nombres, et dans tous les autres cas, à une valeur de plus en plus approchée, elle ne laisserait rien à désirer dans la résolution numérique des équations, que l'on pourrait alors regarder comme aussi complète que l'extraction des racines: mais il n'en est pas ainsi. Malgré les efforts que Harriot, Ougtred, Wallis, Pell et d'autres, ont faits pour perfectionner la méthode de Viète, elle est toujours demeurée très défectueuse; et Lagrange, en dernier lieu, a montré « qu'elle ne peut > réussir d'une manière certaine que pour les équations » dont tous les termes ont le même signe, à l'exception » du dernier tout connu ; car alors ce terme devant être » égal à la somme de tous les autres, on peut, par » des tâtonnemens limités et réglés, trouver successi"vement tous les chiffres de la valeur de l'inconnue » jusqu'au degré de précision qu'on aura fixé. Dans » tous les autres cas, les tâtonnemens deviendront plus » ou moins incertains, à cause des termes soustractifs. » Lagrange fait voir, de plus, que l'on peut toujours ra- • mener une équation quelconque à cette forme, «pourvu » qu'on ait deux limites d'une racine, l'une en plus » l'autre en moins, et qui soient telles, que toutes les >> autres racines, ainsi que les parties réelles des racines imaginaires, s'il y en a, tombent hors de ces limites.» Mais ces limites étant au moins aussi difficiles à trouver que les racines mêmes de l'équation, la méthode donnée dans les Elém., no 221, est préférable à cette recherche. Des Racines imaginaires en général. 38. On a vu, dans le n° 36, que les racines imaginaires des équations du quatrième degré pouvaient se distribuer par couples, tels que en sorte que chaque couple donnait un facteur du second degré, dont les coefficiens étaient réels. Les analystes ont aussi reconnu que toute équation de degré pair est décomposable en facteurs réels du second degré : voici la démonstration qu'en a donnée M. Laplace (Journal des Séances de l'Ecole Normale, Leçons, 1e édit., t. II, pag. 315, et Journal de l'Ecole Polytechnique, 7o et 8o cahiers, pag. 56). Il faut prouver d'abord que toute équation d'un degré quelconque p aura un facteur réel du second degré, si toute équation du degré P(p-1) a un facteur réel, soit du premier, soit du second degré. 2 Je représente par (P) l'équation du degré p, et ses racines par «,,,, etc. Cela posé, j'observe que, les facteurs du second degré de cette équation, formés nécessairement par la multiplication des facteurs du premier degré, combinés deux à deux, seront et dépendront par conséquent de la recherche des fonctions de la forme a+ß et aß. Ces fonctions seraient déterminées si l'on en connaissait deux de la forme a + B + Maß, a + B + M'uß, les lettres M et M' désignant des nombres donnés; car en faisant a + ß + Maß = N, a + ß + M'a3 — N', 6 Mais pour parvenir à l'équation de laquelle dépend la fonction a++ Maß, il faut former toutes les valeurs qu'elle prend, en y mettant successivement, au lieu de a et de 6, toutes les racines, B, y, d, etc., de la proposée, combinées deux à deux (8), ce qui donne p(p-1) résultats, et fait voir par conséquent que l'équation cherchée, que je désignerai par (Q), monterait au degré P(p −1) 2 ་་ 1o. Si l'on admet d'abord que cette équation ait toujours une racine réelle, en donnant à Mune infinité de valeurs, on formera une infinité d'équations semblables, dont chacune aura une racine réelle, renfermant une des combinaisons qu'on peut faire des racines de la proposée dans la formule a++ Maß; or, le nombre de ces combinaisons étant limité, il faudra nécessairement que la même combinaison soit répétée plusieurs fois avec diverses valeurs de M. On peut donc affirmer qu'il existe au moins deux. fonctions de la forme contenant les mêmes racines a et ß, et dont les valeurs Net N' sont réelles; d'où il résulte que les valeurs correspondantes de a + ß et de aß le sont aussi. 2o. Si l'équation (Q) n'a point de racines réelles, mais seulement un facteur réel du second degré, dont les racines soient imaginaires, en donnant à M une infinité de valeurs, on obtiendra une infinité de fonctions a+6+ Maß, dont l'expression sera de la forme |