Francisci Baconi, Angliae Cancellarii de augmentis scientiarum et cogitata excitatissima Cardani et Campanellae et specimina melioris philosophiae Kepleri et Galilei et Cartesii ad manus adolescentis pervenirent. Tum vero ille, ut postea amicis saepe praedicavit, velut in alium orbem delatus, Aristotelem et Platonem et Archimedem et Hipparchum et Diophantum aliosque magistros generis humani coram intueri et compellare sibi visus est. Et agnoscens nulli saeculo deesse viros magnos, et ingenio qui susciperent, et judicio qui intelligerent praeclara et recta, confirmatus in proposito coeptis instare decrevit; cum paulo ante, expertus omnes quibus collocutus erat a se dissentientes, de rerum emendatione desperasset. Et quia ea, quam sibi sumserat, omnia degustandi libertate, rudem quidem ideam, at harmoniae universali, intelligendisque artium inter se nexarum coordinatis in unum finibus, suffecturam sibi paraverat, de eo quod optimum factu esset deliberavit. Id enim in omnibus rebus faciendum esse docuerat eum Ars combinatioria, quam fecerat ipse sibi, inter cujus principia erat, investigandum esse in unoquoque genere summum. Ita Gecmetriae ad usum vitae accomodatae esse, determinari nobis lineas figurasque brevissimas, ut sunt rectae, longissimas ut sunt volutae, suomet pondere minime gravatas ut sunt apud Galilaeum parabolicae, radiis colligendis aptissimas ut sunt apud Cartesium hyperbolicae. Mechanicae referre, exponi rationem procurandi motum celerrimum ad molendina, tardissimum ad horologiorum durationem, regularissimum (qualis penduli est) ad certitudinem eorundem, corpus gravissimum, corpus levissimum, corpus exacte medium inter utrumque, corpus omnium maxime violentum. His enim ita digestis media maxime promta et efficacia suffore in om nes usus. Ergo de potissimo vitae consilio et velut ratione status privati deliberans, ante omnia constituebat id demum optimum privato videri debere quod publice fructuosissimum esset, quod ad gloriam Dei pertineret, quod effici non facientis minus quam generis humani interesset; mediorum autem homini ad praeclara nullum esse homine praestantius, et inter homines Rege, vicario Dei, non potentia minus quam sapientia, si quem rara temporum felicitas talem tulisset. XVIII. CALCULI RATIOCINATORIS. (Fragmentum e schedis Leibnitii nondum editis, quae n Bibliotheca Regia Hanoverana asservantur.) Omnis humana ratiocinatio signis quibusdam sive characteribus perficitur. Non enim tantum res ipsae, sed et rerum ideae, semper animo distincte obversari neque possunt neque debent, et itaque compendii causa signa pro ipsis adhibentur. culos absolveret perinde ac si totidem lapillis uti vellet; et ICtus aliquis, quoties actiones aut exceptiones aut juris beneficia memorat requisita harum rerum essentialia saepe prolixa semper mente percurrere non potest; neque opus est. Hinc factum est ut nomina contractibus figuris variisque rerum speciebus, signaque numeris in Arithmetica, magnitudinibus in Algebra sint assignata, ut, quae semel vel experiendo vel ratiocinando de rebus comperta sunt, eorum signa rerum illarum signis tuto in posterum conjungantur. Signorum igitur numero comprehendo vocabula, literas, figuras chemicas, Astronomicas, Chinenses, Hieroglyphicas, Si enim Geometra, quoties hyperbolam aut spiralem aut Quadratricem inter demonstrandum nominat, semper earum definitiones sive generationes et rursus terminorum, eos ingredientium, definitiones sibi exacte praefigurare cogeretur, tardissime ad nova detegenda perveniret; si Arithmeticus inter calculandum omnium notarum sive ciphrarum quas scribit valores unitatumque multitudinem continuo cogitaret, numquam prolixos cal- notas Musicas, stenographicas, arithmeticas, alge braicas aliasque omnes quibus inter cogitandum pro rebus utimur. Signa autem scripta, vel delienata vel sculpta characteres appellantur. Porro tanto utiliora sunt, signa, quanto magis notionem rei signatae exprimunt, ita ut non tantum repraesentationi, sed et ratiocinationi inservire possint. Tale nihil praestant characteres chemicorum aut astronomorum, nisi quis cum Johanne Dee, autore monadis hieroglyphicae, mysteria nescio quae in illis venari posse speret. Nec puto Chinensium figuras aut Aegyptiorum inveniendis veritatibus multum prodesse posse. Lingua Adamica vel certe vis ejus, quam quidem se nosse et in nominibus ab Adamo impositis essentias rerum intueri posse contendunt, nobis certe ignota est. Linguae vulgares etsi plurimum prosint ad ratiocinandum, attamen innumeris aequivocationibus sunt obnoxia, nec officium calculi facere possunt nempe ut errores ratiocinationis ex ipsa vocabulorum formatione et construetione detegi possint, tamquam soloecismi et barbarismi. Quod sane admirabile beneficium hactenus solae praestant notae Arithmeticorum et Algebristarum, ubi ratiocinatio omnis in usu characterum consistit et idem est error animi qui calculi. Mihi vero rem altius agitanti dudum manifeste apparuit, omnes humanas cogitationes in paucas admodum resolvi tamquam primitivas. Quod si his characteres assignentur, posse inde formari characteres notionum derivatarum, ex quibus semper omnia eorum requisita notionesque primitivae ingredientes, et ut verbo dicam definitiones sive valores, et proinde et affectiones ex definitionibus demonstrabiles, erui possent. Hoc uno autem praestito, quisquis characteribus hujusmodi inter ratiocinandum scribendumque uteretur, aut numquam laberetur, aut lapsus suos ipse non minus atque alii semper facillimis examinibus deprehenderet, inveniret praeterea veritatem quantum ex datis licet, et sicubi data ad inveniendum quaesitum non essent sufficientia, videret quibusnam adhuc experimentis vel notitiis esset opus quin saltem accedere posset veritati, quantum ex datis possibile est sive appropinquando, sive gradum majoris probabilitatis determinando; sophismata autem et paralogismi nihil hic aliud forent quam quod errores calculi in Arithmeticis, et soloecismi et barbarismi in linguis. Cum igitur hac arte characteristica cujus ideam animo concepi, verum organon scientiae generalis omnium, quae sub humanam ratiocinationem cadunt, sed perpetuis calculi evidentis demonstrationibus vestitum, contineatur, opus erit ipsam quoque characteristicen nostram, seu artem signis exacto quodam calculi genere utendi, quam generalissime ex hiberi. Cum autem nondum constituere licuerit, quomodo signa formari debeant, interdum pro ipsis in futurum formandis exemplo Mathematicorum utamur literis Alphabeti aliisve notis arbitrariis quibuscunque, quas progressus aptissimas suppeditabit. Qua ratione etiam apparebit ordo scientiarum characteristice tractatarum, et res ipsa docebit, Arithmaticam elementarem esse elementis calculi Logici, de figuris modisque agentis, priorem simplicioremque. Esto character quilibet A vel B, vel alia nota. Compositum ex pluribus characteribus vocetur Formula. Si formula quaedam aequivaleat characteri, ita ut sibi mutuo substitui possint, ea formula dicetur valor characteris. Valor primigenius characteris, qui scilicet pro arbitrio ei assignatur nec probatione opus habet, est ejus significatio. Inter ea quorum unum alteri substitui potest salvis calculi legibus, dicetur esse aequipollentiam. Praeter aequipollentiam dantur aliae relationes complures, quas res ipsa monstrabit, v. g. inclusiones, similitudines, determinationes, de quibus suo loco. Et proinde relationes sunt ad characteres atque formulas, ut enuntiationes se habent ad notiones, sive secunda mentis operatio ad primam. Calculus vel operatio consistit in relationum productione, facta per transmutationem formularum, secundum leges quasdam praescriptas factis. Quanto autem plures leges sive conditiones calculaturo praescribuntur, eo magis compositus est calculus et characteristica quoque illa minus est simplex. Patet igitur, formulas (sub quibus, tamquam simplicissimos, licet comprehendere ipsos characteres) relationes et operationes se habere ut notiones, enuntiationes et syllogismos. Character dicetur ingredi formulam, in qua expresse ponitur, involvi autem dicetur, si saltem per substitutionem aequipollentium effici potest, ut tum demum ingrediatur. Characteres formulam ingrediuntur vel absolute seu simpliciter, vel sub modificatione certa, sive relatione ad alium characterem, verbi gratia si sit formula A (B). C, cum A et C ingrediuntur recte, at B oblique sub A. Fieri etiam potest ut omnes characteres formulam sub modificatione ingrediantur ut si sit: A.B. C. L.M. N. ubi A.B.C. simul, certo modo concurrentes constituunt demum characterem rectum ex ipsis conflatum sive compositum, itemque faciunt L.M. N. quodsi character absolute positus sit expressus aliter quam (Fragmentum autographum Leibnitii, quod in Bibliotheca Regia Hanoverana asservatur.) Definitio 1. Eadem sunt quorum unum potest substitui alteri salva veritate. Si sint A et B, et A ingrediatur aliquam propositionem veram, et ibi in aliquo loco ipsius A pro ipso substituendo B fiat nova propositio aeque itidem vera, idque semper succedat in quacunque tali propositione, A et B dicuntur esse eadem; et contra, si eadem sint A et B, procedet substitutio quam dixi. (Eadem etiam vocantur coincidentia, aliquando tamen A quidem et A vocantur idem, A vero et B vocantur coincidentia). Defin. 2. Diversa sunt, quae sunt non eadem, seu in quibus substitutio aliquando non succedit. Coroll. Unde etiam, quae non sunt diversa, sunt eadem. Charact. 1. A B significat A et B esse eadem vel coincidentia. Scholium: Non omne inexistens est pars, nec omne continens est totum, e. gr. quadratum inscriptum et diameter circulo inest, et quadratum quidem est pars circuli, diameter vero non est pars ejus. Addendum est ergo aliquid ad notionem totius et partis accurate explicandam, quod non est hujus loci. (Et vero non insunt tantum sed et detrahi possunt ea quae partes non sunt, e. gr. Centrum ex circulo, ita ut in residuo sint omnia puncta praeter centrum; id enim residuum erit locus omnium punctorum intra circulum, quorum distantia a circumferentia est minor radio, cujus loci differentia a circulo est punctum, nempe centrum. Ita locus omnium punctorum quae moventur, sphaerâ, duobus ejus punctis diametro distantibus immotis, motâ fit si a sphaera detrahas axem seu diametrum per duo puncta immota transeuntem). Charact. 2. A noņ∞ B, vel B non A, signi- lisdem positis A et B simul sumta dicuntur conficat A et B esse diversa. Defin. 3. Si plura simul sumta coincidant uni plurium, quodlibet dicitur inesse vel contineri in uno isto, ipsum autem unum dicetur continens, (et contra: si quid insit alteri, erit inter plura simul coincidentia illi alteri). Ut si A et B simul sumta coincidant ipsi L, A ut et B dicetur inexistens vel contentum, at L dicetur continens. stituentia, L autem constitutum. Charact. 3. A+B L significat A inesse ipsi L, vel contineri a L. Scholium: Etsi A et B habeant aliquid commune, ita ut ambo simul sumta sint majora ipso L, nihilominus locum habebunt quae hoc loco diximus aut dicemus. Exemplo rem declarare utile erit: L significet rectam -•. .. possunt ad unum constituendum ut si sint A et B, potest inde fieri A+B, quod appellari potest L. RVSX RX, et A partem ejus rectam sci- | licet RS, et B aliam ejus partem rectam scilicet XV; ponatur quaelibet harum partium RS vel XV major esse dimidio totius RX, nam revera quia VS est pars communis ipsorum RS et XV erit RS+XV aequ RX+SV, et tamen vere dici potest, rectas RS et XV simul coincidere rectae RX. Defin. 4. Si aliquid N insit ipsi A, itemque insit ipsi B, id dicetur ipsis commune, ipsa autem dicantur communicantia; si vero nihil commune habeant ut A et N (verbi gratia RS et XS.), dicentur incommunicantia. Axioma 1. Si idem secum ipso sumatur, nihil constituitur novum, seu A+A ∞ A. Scholium: Equidem in numeris 4+4 facit 8, seu bini nummi binis additi faciunt quatuor nummos, sed tunc bini additi sunt alii a prioribus, si iidem essent, nihil novi prodiret et perinde esset ac si joco ex tribus ovis facere vellemus sex numerando primum 3 ova, deinde uno sublato residua 2, ac denique uno rursus sublato residuum. Axioma 2. Si idem ponitur et detrahitur, quicquid inde in alio constituitur, coincidit Nihilo. Postulatum 1. Plura quaecunque simul sumi 1) Cum Def. 6-8 et Scholion in margine Autographi scripta sint tam parvis literis iisdemque partim deletis, ut vix cerni, nedum legi queant, non potui quin aliqua verba omitterem. Not. Ed. Si duorum quae sunt eadem inter se unum diversum sit a tertio, etiam alterum ab eo erit diversum. Si A B et B non C, erit A non C. Nam si in propositione B non ∞ C (vera ex hyp.) substituatur A in locum B (quod facere licet per def. 1 quia A B ex hyp.) fiet A non ∞ C. Q. E. Dem. Not. Hic inseri posset Theorema tale: Quod inest uni coincidentium, etiam alteri inest. Si A est in B et B∞ C, etiam A est in C, nempe in prop. A est in B (vera ex hyp.) substituendo C in locum ipsius B. THEOREMA III. Si eidem addantur coincidentia fiunt coincidentia. se) Si A B, erit A+CB+C. Nam si in propositione A+CA+C (quae est vera per pro A semel substituas B (quod facere licet per def. 1. quia A co B) fiet A+C B+C. Q. E. Dem. Coroll. Si coincidentibus addantur coincidentia, fiunt coincidentia. Si A∞ B, et LM, erit A+L B+M. Nam (per praesens theorema) quia La M, erit A+L∞ A +M, et in hac assertione pro A semel ponendo B (quia A B ex hyp.) fiet A+L B+M. Q. E. Dem. THEOREMA IV. Contentum contenti est contentum continentis, seu si id cui aliud inest, insit tertio, id quod ei inest, eidem tertio inerit, vel si A est in B et B est in C, etiam A erit in C. Nam A est in B (ex hyp). Ergo est aliquid, cui nomen imponemus L tale, ut sit A+L∞ B (per def. 3. vel charact 3), similiter quia B est in C (ex hyp.) erit B+M C, in qua assertione pro B ponendo A+L (quo coincidere ostendimus) fiet A+L+ M∞ C. Jam pro L+M ponendo N (per postul. 1.) fiet A+N∞ C. Ergo A est in C (per def. 3.) Q. E. Dem. THEOREMA V. Cui singula insunt, etiam ex ipsis constitutum inest. Si A est in C, et B est in C, etiam A+B (Constitutum ex A et B def. 4.) erit in C. Nam quia A est in C, erit aliquod M tale ut possit fieri A+M C (per def. 3) similiter quia B est in C, poterit fieri B+N∞ C, quae conjungendo (per coroll. Theorematis 3) fiet A+M+B+N C, et prcinde (per def. 3) A+B est in C. Q. E. Dem. THEOREMA VI. Constitutum ex contentis inest constituto ex continentibus. Si A est in M et B est in N, erit A+B in M +N. Nam A est in M (ex hyp.) et M est in M +N per def. 3). Ergo N est in M+N (per def. 3). Ergo B est in M+N (per theor. 4) jam si A est in M+N., et B est in M+N, etiam (per th. 5) erit A+B in M+N. Q. E. Dem. THEOREMA VII. Si quid additur ei cui inest, nil constituitur novi. Si B est in A erit A+B A. Nam si B est in A, potest fieri B+C A (def. 3). Ergo per (theor. 3) A + B B+C+ B B+C (per axiom. 1) A (per dicta hic). Q. E. Dem. CONVERSUM THEOREMATIS PRAECE- Si quid addendo alteri nil constituitur, ipsum alteri inest. Si A+B A, tum B erit in A, nam B est in A+B (def. 3) et A+B ∞ A (ex hyp.). Ergo B est in A (per insertum inter theor. 2 et 3). Q. E. Dem. Aliud est detractio in notionibus, aliud negatio, v. g. Homo non rationalis est absurdum seu impossibile. Sed licet dicere: simia est homo, nisi quod non est rationalis, ut in jambo Grotii. HomoRationalis aliud quam homo non rationalis. Nam Homo-Rationalis co Brutum. Sed homo non rationalis est impossibile. Homo-Animal-Rationalis est Nihilum. Hinc detractiones possunt facere nihilum seu non Ens simplex imo minus nihilo, sed negationes possunt facere impossibile. THEOREMA IX. 1) Ex compensatione expressa sequitur destructio compensati si nihil sit in compensatione destruenda, quod tacite repetitum constitutionem ingrediatur extra compensationem; 2) item si quicquid est hoc repetitum, ingrediatur et se et positionem et detractionem extra compensationem; 3) si horum neutrum contingat, destructio pro compensatione substitui non potest. Casus 1. Si A+N-M-N est co A-M, et A, N, M sunt incommunicantia, ita enim nihil est in compensatione destruenda A+N-N quod sit extra ipsam in A vel M seu quod in+N ponitur id, quotiescunque hic ponitur, continetur in+ N et quod in N detrahitur, id, quotiescunque hic detrahitur, continetur in N, ergo (per ax 2) pro +NN poni potest Nihilum. Casus 2. Si A+B-B-G∞ F et omne quod tam A et B, quam G et B commune habeant sit M, erit F co A-G. Ponamus praeterea, omne quod A et G commune habent, esse E si quod habent, ita ut si nihil communicassent E sit co Nih., ita erit A co E+Q+M B∞ N+M et G coE+ H+M et fiet F∞ E+Q+M+N+M− N — M-E-H-M qui termini omnes (E, Q, N, M, H) sunt incommunicantes, ideo (per casum praecedentem) sit Foo Q-H co E+2+M-EH-Mc A- G. Casus 3. Si A+B-B-D co C, et id quod commune est ipsi A et B non coincidit cum eo, quod commune est ipsis B et D, non erit C ∞ A — D; sit enim B ∞E+F+G, et A ∞ H+E et DK+F, sic ut haec ingredientia non sint amplius communicantia nec ulteriore adeo resolutione sit opus, fiet C coH+E+E+F+G-E-FG―K — F, id est (per casum 1) C∞ H—K, quod non est co A - D, id enim est ∞ H+EK—J, nisi ponitur Eco F, seu commune inter B et A idem cum communi inter B et D contra hyp. Eadem demonstratio foret etsi A et D habuissent aliquid commune inter se. |