THEOREMA X.

Detractum et residuum sunt incommu

nicantia.

Sit L-A co N. Dico A et N nihil habere commune. Nam ex definitione detracti et residui omnia quae sunt in L, manent in N praeter ea quae suut in A, quorum nihil manet in N.

Problema. Efficere ut ex non coincidentibus, ad data coincidentia additis, constituantur tamen coincidentia.

Sit A co A, dico reperiri posse duo B et N sic ut B non sit co N et tamen A+B sit ∞ A+N. Solutio: Sumatur aliquid quod insit ipsi A, ut M, et sumto N pro arbitrio, sic tamen ut neque M sit in N, neque contra N in M, fiat B co M+ N; et factum erit quod quaeritur. Nam quia B ∞ M+N ex hyp., et M atque N sibi non insunt ex hyp., et tamen A+B∞A+N, quia per th. 7. convers A+B ∞ A+M+N, at hoc (per th. 7. quia M est in A ex hyp.) ∞o A+N.

THEOREMA XI.

In duobus communicantibus id, cui inest quicquid, utrique commune est et duo propria sunt tria incommunicantia inter se.

Sint A et B communicantia et A co P+M et BN+M, sic ut quicquid est in A et B sit in M, nihil vero ejus in P et N, dico P, M, N esse incommunicantia, nam tam P quam N sunt incommunicantia cum M, quia quod est in M, est in A et B simul, at nihil tale est in P aut N. Deinde P et N sunt incommunicantia inter se, alioqui itidem quod ipsis commune est, foret in A et B.

THEOREMA XII.

In incommunicantibus quae coincidenti bus addita faciunt coincidentia ea ipsa sunt coincidentia.

Seu, si A+B ∞ C+D et A∞ C, erit B∞ D, modo A et B itemque C et D sint incommunicantia. Nam A+B-CC+D-C (per th. 8), jam A+B−C∞ A+B−A (ex hyp. quod A o C) et A+B-A∞ B (per th. 9. cap. 1. quia A et B incommunicantia) et (per eandem rationem) C+D-C∞ C. Ergo B∞ C. Quod Erat Dem.

THEOREMA XIII.

Generaliter, si coincidentibus addendo alia fiant coincidentia, addita sunt inter se communicantia.

Sint coincidentia vel eadem A et A, fiatque A+ BAN, dico B et N esse communicantia. Nam si A et B sunt incommunicantia, item A et N, erunt B ∞ N (per praeced.). Ergo communicantia sunt B et N. Sin A et B sint communicantia, sit A co P+M et B ∞ Q+M ponendo M quicquid commune est inter A et B et nihil tale in Pet Q. Ergo (per ax. 1) A+B∞ P+Q+M ∞ P+M+N, jam P, Q, M sunt incommunicantia (per th. 11). Ergo si etiam N cum A, seu cum P+M est incommunicans, ex P+Q+M∞ P+M+N fiet (per praeced.) ✨co N. Ergo N est in B. Ergo N et B sunt communicantia; si vero iisdem positis, nempe P+Q+M P+M+N, seu A communicante cum B, N etiam communicet cum P+M seu A, tunc N vel communicabit cum M, quo facto communicabit etiam cum B, (cui inest M) et habebitur intentum, vel N communicabit cum P. Ergo faciamus similiter P G+H et N ∞F+H sic ut G, H, F sint incommunicantia (secundum th. 11) et ex P+Q+M P+ M +N fiet G+H+Q+M∞ G+H+M+F+ H. Ergo (per praec. th.) fit Q co F. Ergo N (co F + H) et B (∞o Q+M) habent aliquid commune. Q. E. D.

Porisma. Ex demonstratione hac discimus; si eidem, vel coincidentibus addantur aliqua et fiant coincidentia, sintque addita utraque ei cui adi duntur incommunicantia ipsa coincidere inter se (quod et patet ex th. 12). Sin unum sit communicans eidem illi cui utrumque additur, alterum vero non, tunc incommunicans erit in communicante; denique si ambo sint communicantia cum eo cui addantur, ad minimum communicabunt inter se (quanquam alioqui non sequatur, quae communicant eidem tertio, communicare inter se). In notis: A+B A+N si A et B incommunicantia item A et N incommunicantia, erit B co N ; si A et B communicantia et A et N incommunicantia, N erit in B; denique si B communicet cum A et Nitidem communicet cum A, tunc B et N ad minimum communicabunt inter se.

Ut calculi hujus natura intelligatur, notandum est, quicquid a nobis enuntiatur in quibusdam literis, quas pro arbitrio assumsimus, idem intelligendum enuntiari posse eodem modo in aliis quibusvis assumtis. Ut, cum dico, propositionem hanc ab est a semper esse veram, intelligo non tantum hoc exemplum: animal rationale est animal, esse verum ponendo animal significari per a et rationale per b, sed intelligo etiam hoc exemplum, animal rationale est rationale, esse verum, ponendo rationale significari per a et animal per b. Et idem in quolibet alio exemplo procedere, ut corpus organicum est organicum, ac proinde etiam pro ab est a, dici poterit bd est a.

Terminus est a. b. ab. bed ut: homo, animal, animal rationale, rationale mortale visibile. Propositionem universalem affirmativam sic designo: a est b, seu (omnis) homo est animal, semper enim hic signum universalitatis intelligi volo, ubi a subjectum et b praedicatum. Est: copula.

Postulatum: Permissum esto supponere literam uni literae vel pluribus simul aequivalere, ut d aequivalere ipsi a et alterum in alterius locum substitui posse vel d aequivalere termino ab, verbi gratia, homo idem quod animal rationale: Hoc intellige, si nihil his suppositionibus contrarium jam suppositum sit.

Propositiones per se verae; 1) a est a, animal est animal, 2) ab est a, animal rationale est animal. 3) a non est non-a, animal non est non animal, 4) non-a non est a nonanimal non est animal, 5) Qui non est a est non-a qui non est animal, est non-animal, 6) Qui non est non-a, est a, qui non est non-animal, est animal. Ex his duci possunt plures.

Consequentia per se vera: a est b, et b est c, ergo a est c, Deus est sapiens, sapiens est justus, ergo Deus est justus. Haec catena longius continuari potest, v. g. Deus est sapiens,

sapiens est justus, justus est severus, ergo Deus

est severus.

Principia calculi 1) Quicquid inclusum in literis quibusdam indefinitis idem intelligi debet conclusum in aliis quibuscunque, easdem conditiones habentibus, ut quia verum est ab est a, etiam verum erit be est b, imo et bcd est bc, nam pro be substituendo e (per postulatum) idem est ac si dixissemus ed est e.

2) Transpositio literarum in eodem termino nihil mutat ut ab coincidet cum ba, seu animal rationale et rationale animal.

3) Repetitio ejusdem literae in eodem termino est inutilis, ut best aa, vel bb est a homo est animal animal, vel homo homo est animal. Sufficit enim dici a est b, seu homo est animal.

4) Ex quotcunque propositionibus fieri potest una, additis omnibus subjectis in unum subjectum et omnibus praedicatis in unum praedicatum. a est b, et c est det e est f, inde fiet ace est bdf. Ut Deus est omnipotens, homo est corpore praeditus, Crucifixus est patiens. Ergo Deus homo crucifixus est omnipotens corpore praeditus patiens. Nec refert quod interdum, quae conjunguntur hoc modo, incomputabilia sunt ut: circulus est nullangulus. Quadratum est quadrangulum. Ergo circulus-quadratum est nullangulum quadrangulum. Nam haec propositio vera est ex hypothesi impossibili. Utilis est haec observatio praesertim in Catenis longius productis, verbi gratia hoc modo: Deus est sapiens, sapiens est justus; Deus est omnipotens, justus omnipotens punit malos. Deus non punit aliquos malos in hac vita. Qui punit at non punit in hac vita, ponit in alia vita. Ergo Deus punit in alia vita.

5) Ex quacunque propositione, cujus praedicatum est ex pluribus terminis

compositum, possunt fieri plures, quarum quaelibet idem quod ante, habet subjectum; sed loco praedicati habet aliquam prioris praedicati partem. a est

bed, Ergo a est bet a est c, et a est d. Veluti homo est rationalis mortalis visibilis. Ergo homo est rationalis, homo est mortalis, homo est visibilis.

Veritates absolute primae sunt inter veritates rationis identicae et inter veritates facti haec, ex qua a priori demonstrari possent omnia experimenta, nempe: Omne possibile exigit existere, et proinde existeret, nisi aliud impediret, quod etiam existere exigit et priori incompatibile est, unde sequitur, semper eam existere rerum combinationem, qua existunt quam plurima, ut, si ponamus A. B. C. D esse aequalia quoad essentiam, seu aeque perfecta, sive aeque existentiam exigentia, et ponamus D esse incompatibile cum A et cum B, A autem esse compatibile cum quovis, praeter cum D, et similiter B et C, sequitur, existere hanc combinationem A. B. C, excluso D, nam si D existere volumus, nonnisi C ipsi poterit coëxistere, ergo existet Combinatio C. D, quae utique imperfectior est combinatione A. B. C., itaque hinc patet, res existere perfectissimo modo. Haec propositio: Omne possibile exigit existere, potest probari a posteriori, posito aliquid existere; nam vel omnia existunt, et tunc omne possibilie adeo exiget existere, ut etiam existat, vel quaedam non existunt, tum ratio reddi debet, cur quaedam prae aliis existant. Haec autem aliter reddi non potest, quam ex generali essentiae seu possibilitatis ratione, posito, possibile exigere sua na

tura existentiam et quidem pro ratione possibilitatis seu pro essentiae gradu. Nisi in ipsa essentiae natura esset quaedam ad existendum inclinatio, nihil existeret, nam dicere, quasdam essentias hanc inclinationem habere, quasdam non habere est dicere aliquid sine ratione '), cum generaliter videatur existentia referri ad omnem essentiam eodem modo. Illud tamen adhuc hominibus ignotum est, unde oriatur incompossibilitas diversorum, seu qui fieri possit, ut diversae essentiae invicem pugnent, cum omnes termini pure positivi videantur esse compatibiles inter se.

Veritates secundum nos primae sunt experimenta. Omnis veritas quae non est absolute prima, demonstrari potest ex absolute prima. Omnis veritas aut dtmonstrari potest ex absolute primis (quas indemonstrabiles esse, demonstrabile est) aut ipsa est absolute prima. Et hoc est, quod dici solet, nihil debere asseri sine ratione, imo nihil fieri sine ratione etc.

1) Si existentia esset aliud quiddam, quam essentiae exigentia, sequeretur ipsam habere quandam essentiam, seu aliquid novum superaddere rebus, de quo rursus quaeri posset, an haec essentia existat an non existat, et cur ista potius quam alia. Nota Leibnitii.

1. A includere B, seu B includi ab A, est: [ de A, subjecto, universaliter affirmari B, praedicatum. Veluti: sapiens includit justum, hoc est, omnis sapiens est justus.

2. A excludere B, seu B excludi ab A est, de A, subjecto, universaliter negari B, praedicaVeluti justus excludit misernm, hoc est nullus justus est miser.

tum.

3. Qui negat, A includere B, is de quodam subjecto A negat praedicatum B, seu enuntiat particularem negativam. Seu qui negat justo includi fortunatum, enuntiat quendam justum non esse fortunatum. Nam si omnis justus esset fortunatus, (intellige qui est, fuit, futurusve est), jam dici posset, omni, qui justus est, inesse fortunatum, itaque justus fortunatum includet contra hypothesin.

4. Qui negat A excludere B, is de quodam subjecto A affirmat praedicatum B, seu enuntiat particularem affirmativam. Qui negat a sapiente excludi fortunatum, enuntiat quendam sapientem esse fortunatum.

5. Si ex pluribus enuntiationibus sequatur nova enuntiatio, et haec sit falsa, erit aliqua ex illis falsa. Est collectio per regressum.

6. Contradictoriae (seu quarum una affirmat, quod altera negat) non possunt simul esse vera, nec simul esse falsa et hoc vocant oppositionem.

7. Ex universali sequitur particularis ejusdem naturae quod vocant subalternationem. Nempe si A includit B (seu per num 1) si omne A est B, sequitur quod A non excludat B, seu (per num. 4.) quoddam A esse B. Rursus si excludit B, seu (per num. 2.) si nullum A est B, sequitur quod A non includat B, seu (per num. 3.) quoddem A non esse B.

8. Si A excludit B, vicissim B excludit A. Hoc est fundamentum conversionis simpliciter factae. Nam hinc (per 2.) si nullum A est B, etiam nullam B est A, et (per 4.) si quoddam A est B, etiam quoddam B est A.

9. Si A includit B, hinc (per 1 et 4.) nascitur conversio per accidens. Omne A est B, ergo quoddam Best A.

10. Notatu tamen dignum est, tam subalternationem quam conversionem posse demonstrari ope syllogismorum.

12. Syllogismus Categoricus simplex est, qui de inclusione vel exclusione duorum terminorum inter se, aliquid per data de inclusione vel exclusione tertii respectu singularum.

13. Includens includentis est includens inclusi, seu si A includit B et B includit C, etiam A includet C.

14. Includens excludentis est excludens exclusi, seu si A includit B et B excludit C, etiam A excludet C.

15. Includens excludentis est exclusum exclusi, seu si A includit B et B excludit C, etiam C excludit A. Sequitur ex praecedente, accedente No. 8. Hinc mutando C in A, et contra, exclusum (A) inclusi (B) est exclusum includentis (C) B excludit A, et C includit B, Ergo A excludit C.

16. Excludens inclusi est excludens includentis, seu si A excludit B et B includitur in C, etiam A excludit C, seu si A excludit B, et C includit B, utique A excludit C. Patet per se.

17. Si A excludit B et C includit B, etiam C excludit A seu excludens inclusi est exclusum includentis. Sequitur ex praecedente ope 8. Hinc si permutes C et A, fiet; si A includit B et C excludit B, etiam A excludit C (seu includens exclusi est excludens excludentis).

(a un. aff. e un. neg. i part. aff. o part. neg.)

18. Regulam primam sic enunties: Medium subjecto inclusum etiam praedicatum, sibi inclusum (vel exclusum), ei includi (vel excludi) osten| dit. Hinc dispositione terminorum existente BC. AB. AC. ex inclusione fit aaa, unde subalternando aai, ex exclusione fit eae, unde subalternando fit eao, sed quia e. BC inferri potest ex e CB, hinc fit e. CB, a. AB, e. AC, et subalternando e. CB, a AB, o AC.

19. Regulam secundam sic enunties: Medium subjecto exclusum etiam praedicatum, se includens, subjecto excludi ostendit. Hinc fit a CB, e AB, e (vel o) AC; qui modus cum per conversionem simpliciter ipsius e AB in e BA se

quatur, ex isto a CB, e BA, e (vel o) AC etiam iste valebit.

20. Habemus hinc modos 10 ex reg. 1 et 2. Ex quolibet horum fiunt duo per regressum, dum, negando conclusionem et affirmando unam praemissarum, affirmatur altera. Inde praeter hos 10

erunt 20, summa 30. Sed tamen et plures erunt, sumendo pro propositionibus inferentibus eas, ex quibus ipsae sequuntur, id est simpliciter conversas. Cum vero revera non nisi 24 modi dentur, ut alias ostendimus, ideo necesse est, nonnullos bis occurrere.

Difficultates quaedam logicae solutu dignae occurrerunt. Qui fit, quod in singularibus procedit oppositio: Petrus Apostolus est miles et Petrus Apostolus non est miles, cum tamen opponatur alias universalis affirmativa et particularis negativa? An dicemus singulare aequivalere particulari et universali? Recte. Itaque et cum objicietur singulare aequivalere particulari, quia in tertia figura conclusio debeat esse particularis et possit tamen esse singularis (v. g. omnis scribens est homo, quidam scribens est Petrus Apostolus, ergo Petrus Apostolus est homo) respondebo, conclusionem revera esse particularem et perinde esse ac si conclusissemus, quidam Petrus Apostolus est homo, nam quidam Petrus ApostoJus et omnis Petrus Apostolus coincidunt, quia terminus est singularis.

Major haec est difficultas, quod conversio recepta videtur aliquando inducere falsum, nempe conversio per accidens universalis affirmativa in casu tali, omnis ridens est homo, ergo quidam homo est ridens; nam prior vera est, etiamsi nullus homo rideret, at posterior non vera non est, nisi aliquis homo actu rideat. Prior loquitur de possibilibus, posterior de actualibus. At non occurrit difficultas similis si maneas in terminis possibilium, v. g. omnis homo est animal, ergo quoddam animal est homo. Dicendum ergo conclusionem, quidam homo est ridens, esse veram in regione Idearum, seu si

ridentem sumas pro quadam specie Entis possibilis, ut miles est species hominis, seu ut homo est species animalis, ita quidam homo est ridens, veraque erit propositio, etiamsi nullus homo ridens existat. Sane conversio a me demonstratur per Syllogismum tertiae figurae. Omnis ridens est ridens. Omnis ridens est homo. Ergo quidam homo est ridens, intelligo in regione Idearum, si ridens sumatur pro hominis specie non pro ridente actuali. Syllogismus hic in Darapti demonstrari potest ex prima per regressum, seu nihil aliud assumendo quam leges oppositionum, dum scilicet sumatur Syllogisinus in prima et assumitur conclusionem falsam esse et unam praemissarum esse veram. Hinc sequitur alteram praemissarum esse falsam. Falsae autem conclusioni opposita est vera.

Leges autem oppositionum primitivae sunt. V. g. omnis homo est animal. Huic ajo opponi: quidam homo non est animal. Nam omnis homo est animal idem est quod A homo est animal, B homo est animal, C homo est animal et ita in caeteris; et quidam homo non est animal, nihil aliud dicit quam B non esse animal vel aliquid tale. Itaque opponuntur: omnis homo est animal et quidam homo non est animal. Sic opponuntur: nullus homo est lapis et quidam homo est lapis; nam nullus homo est lapis significat A homo non est lapis, B homo non est lapis, C homo non est lapis etc. Ergo falso est talis: