mander quel est le nombre b dont il est une puissance de degré quelconque. Ce nombre b prend spécialement le nom de racine de a; racine deuxième, s'il est le nombre qui entre deux fois comme facteur dans a; racine troisième (ou de degré trois), s'il est le nombre qui entre trois fois comme facteur dans a,...; et, en général, racine nième (ou de degré n), s'il est le nombre qui entre n fois comme facteur dans a. Par exemple, 2 est la racine deuxième de 4, la racine troisième de 8, etc. De même, 3 est la racine deuxième de 9, la racine troisième de 27, etc. ('). (1) Pour abréger, et pour des raisons dont on se rendra compte plus tard, on représente respectivement la racine deuxième de a, la racine troisième de a, ....., et, en général, la racine nieme de a par ... indiquent combien de fois la racine deuxième, la racine nieme,..., entrent comme facteur dans le la racine troisième, Nous avons désigné par an la puissance nième de a, et par an la racine m nième de a. Nous représenterons par an la racine nieme de la puissance mième de a, ou la puissance mième de la racine nième de a, notions équivalentes. Pour nous expliquer plus facilement dans la suite, nous réunirons sous le nom commun d'exposants le nombre entier n et les 1 m nombres fractionnaires - qui affectent a pour indiquer respectivement une puissance, une racine, une puissance de racine ou une racine de puissance. Ainsi, un exposant entier indiquera une puissance du nombre qu'il affecte; un exposant fractionnaire, une racine, de degré marqué par le dénominateur, d'une puissance, de degré marqué par le numérateur, ou inversement. n n 24. De la recherche des racines des nombres d'unités entières. Les nombres d'unités du premier ordre et l'unité du deuxième ordre: ཉ་ (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ayant pour puissances deuxièmes (2) 1, 4, pour puissances troisièmes (3) 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000; pour puissances quatrièmes (4) 1,16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000; pour puissances cinquièmes (5) 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, etc.; réciproquement, les nombres des lignes (2), (3), (4), (5), ont pour racines deuxième, troisième, quatrième, cinquième, etc.,..., les nombres de la ligne ('). Après avoir formé ce tableau, on connaîtra donc immédiatement les racines deuxièmes (ou, du moins, les nombres entiers contenus dans ces racines) des nombres dont les unités ne surpassent pas le deuxième ordre, les racines troisièmes des nombres dont les unités ne surpassent pas le troisième ordre, les racines quatrièmes des nombres dont les unités ne surpassent pas le quatrième ordre, et ainsi de suite. Mais, pour obtenir la racine deuxième d'un nombre plus grand que 100, la racine troisième d'un nombre plus grand que 1000, la racine quatrième d'un nombre plus grand que 10000, etc., ..., il faut étudier au préalable la loi de formation de ces puissances, ou, d'une façon générale, la loi de composition de la puissance m ieme d'une somme composée de deux ou plusieurs parties. 25. Recherche de la loi de composition de la puisd'une somme x + a contenant deux par sance m' ties x et a. Pour découvrir cette loi, recherchons préalablement la loi de composition du produit de m binômes (') x + a, x + b, x + c, ..., qui ont une partie commune et les autres différentes. Cette loi déterminée, il suffira évidemment, pour connaître la composition de la puissance même de x + a, dę. voir ce qu'elle devient lorsque les secondes parties deviennent toutes égales à a. Loi de composition du produit de m binômes qui ont une partie commune. Observant que, de la notion même d'un produit, il résulte que le produit des parties d'un polynôme par un autre polynôme est égal à la somme des parties du premier polynôme multipliées par chacune de celles du second, on forme aisément les produits réunis dans le tableau suivant : (1) On désigne une somme de deux parties par le nom de binôme, une somme de trois parties par le nom de trinôme, et, en général, une somme de plusieurs parties par le nom de polynôme. (2) Lorsqu'on veut indiquer le produit de deux ou plusieurs polynômes, on place ceux-ci entre parenthèses; par exemple, le produit de xa par x+b se représente par (x + a) (x + b). (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = x1 + a|x3 + ab x2 + abc x + abcd +b](3) + ac (3) + abd (3) +c +be+acd +bd La loi de composition des produits successifs est manifeste. Chaque produit se compose d'abord de la puissance de la partie commune x, marquée par le nombre de binômes multipliés; puis, des puissances décroissantes successives de cette même partie, multipliées respectivement par la somme des produits des secondes parties prises autant à autant qu'il est marqué par la différence entre le nombre m des binômes et l'exposant de x; et enfin du produit des secondes parties des binômes. Afin de ne laisser aucun doute sur la généralité de cette loi, démontrons que, si elle régit le produit de m binômes, elle régit également celui de m + 1 binômes. Supposons que la loi soit vérifiée pour le (3) Lorsqu'un facteur x est commun à plusieurs parties, la somme de ces parties est évidemment égale au facteur x multiplié par la somme des quotients de chacune des parties par x; par exemple, xb + xa = x (b+a), etc. produit de m binômes, c'est-à-dire que l'on ait xmaxm-1+ab\xm-2+...+abc..am-n+1+abc..Jam-n+...+abc..j +acd.. +b +ac +.. +acd.. + + Nous aurons, pour le produit du précédent par un nouveau binôme (x + k), xm-1+axm+ab xm-1+...+abc..xm-n++abc..xm-n+...+abc..jk n- -1 +ac +acd.. +acd.. produit évidemment soumis à la loi de composition énoncée. Par conséquent, la loi étant vérifiée pour le produit de deux binômes, elle est vraie pour celui de trois binômes, pour celui de quatre binômes, ..., et, en général, pour celui d'un nombre quelconque de binômes. Loi de composition de la puissance même du binôme xa. On vient de démontrer que : m binômes (x+a) (x+b)... (x + j) = m xm+S1xm-1+S2xm-2+...+(1)Snam-n+...+Sm-1x+Sm ou ab..j (1) Sn désigne la somme des produits des secondes parties prises nàn. |