diviser 79642 par 9901. Le quotient sera plus petit que 10, car 796429901 × 10 ou 99010. On trouve ce quotient en multipliant 9901 successivement par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 et en examinant entre lesquels de ces produits le dividende est compris. La remarque suivante permet cependant d'abréger ces tâtonnements: le nombre des mille du dividende est la somme du produit des mille du diviseur par le quotient et d'un report provenant des produits d'unités d'ordre inférieur. Donc, en divisant les 79 unités de mille du dividende par les 9 unités de mille du diviseur, on aura le quotient ou un nombre plus fort que celui-ci. On sera assuré que le nombre trouvé est le quotient, si l'on peut soustraire du dividende le produit du diviseur par ce nombre. On dispose généralement l'opération de la manière suivante : (dividende) 79642 9901 (diviseur) Le quotient est : 259579 par 594. 259579 594 Soit, par exemple, à diviser Le quotient contiendra des unités du 237600 437 premier ordre, des dizaines et des cen 21979 17820 4159 4158 1 taines, mais pas de mille ni d'unités d'ordre supérieur, car Le dividende 259579 est le produit du diviseur par le quotient, lequel produit est égal à la somme des produits partiels du diviseur 594 par les unités, les dizaines et les centaines du quotient (no 16). Or, le produit partiel de 594 par les centaines du quotient se trouve nécessairement renfermé dans les 2595 centaines du dividende, qui peuvent, en outre, contenir des reports provenant des produits du diviseur par les dizaines et les unités du quotient. Néanmoins, en divisant 2595 par 594, on aura le nombre des centaines du quotient: le nombre ainsi obtenu ne saurait être trop fort, puisqué la somme des reports provenant du produit de 594 par les dizaines et les unités du quotient est nécessairement plus petite que 594 centaines ou le produit de 594 par 1 centaine. Si l'on divise 2595 par 594, on trouve pour quotient 4, en opérant comme il est dit au no 19, et 4 est véritablement le nombre des centaines du quotient. Soustrayant du dividende le produit 237600 du diviseur par les 4 centaines du quotient, il reste 21979 unités, nombre d'unités qui contient encore la somme des produits partiels du diviseur 594 par les dizaines et les unités du quotient. Pour obtenir le nombre des dizaines du quotient, on raisonne comme précédemment. Le produit de 594 par les dizaines du quotient se trouve nécessairement renfermé dans les 2197 dizaines du nouveau dividende 21979, qui peuvent, en outre, contenir des dizaines provenant du produit du diviseur par les unités du quotient. Cependant, en divisant 2197 par 594, on aura le nombre des dizaines du quotient le nombre ainsi obtenu ne saurait être trop fort, car, pour qu'il le fût, il faudrait que la somme des reports provenant du produit de 594 par les unités du quotient surpassât 594 dizaines ou le produit de 594 par 1 dizaine, ce qui est évidemment impossible. On trouve que 594 est contenu 3 fois dans 2197; 3 est donc le nombre des dizaines du quotient. Soustrayant le produit de 594 par 30 ou 17820 de 21979, il reste 4159 unités, qui contiennent ou sont le produit du diviseur par les unités du quotient. Cherchant enfin combien de fois 4459 contient 594, on trouve 7 pour le nombre des unités du quotient. Soustrayant le produit de 594 par 7 ou 4138 de 4159, il reste 1 unité. Le quotient de 259579 par 594 est donc SYNTHÈSE. - De cette démonstration, on conclut que l'on pourra procéder de la manière suivante à la division d'un nombre d'unités entières par un autre nombre entier: On écrit l'expression du diviseur à la droite de celle du dividende; on les sépare par un trait vertical et l'on souligne le diviseur. On divise, par le diviseur, le nombre des plus hautes unités du dividende, de même ordre que celui des plus hautes unités du quotient, et l'on retranche du dividende le produit du diviseur par le nombre obtenu. On obtient ainsi un premier reste ou dividende partiel sur lequel on opère comme sur le précédent, et ainsi de suite. Des puissances des nombres d'unités entières. 21. Tous les nombres d'unités (entières ou fractionnaires) sont des sommes d'autres nombres d'unités que nous savons maintenant déterminer, mais ces nombres peuvent être considérés en tant que sommes proprement dites et en tant que produits de deux ou de plusieurs facteurs, en d'autres termes, en tant que sommes de plusieurs nombres inégaux et en tant que sommes de plusieurs nombres égaux. Les produits, à leur tour, se distinguent en produits de facteurs inégaux et en produits de facteurs égaux; les produits de facteurs égaux sont spécialement appelés puissances du nombre qui y entre plusieurs fois comme facteur. Si un nombre a entre deux fois comme facteur dans un produit, celui-ci, aa, est dit la puissance deuxième de a, ou le nombre a élevé à la deuxième puissance; si un nombre a entre trois fois comme facteur dans un produit aaa, celui-ci est la puissance troisième (ou de degré trois) de a; en général, si un nombre a entre n fois comme facteur n fois dans un produit, aaa..a, celui-ci est la puissance 22. De la recherche des puissances d'un nombre entier. Il résulte des considérations précédentes que, pour obtenir la puissance deuxième d'un nombre a, il suffit de le multiplier par lui-même ; pour obtenir sa puissance troisième, de multiplier ce dernier produit par a, et ainsi de suite. La recherche des puissances des nombres entiers n'exige donc aucun procédé particulier. Des racines des nombres d'unités entières. 23. Réciproquement, un nombre a d'unités (entières ou fractionnaires) étant donné, on peut de(1) Pour abréger, et pour des raisons que l'on comprendra plus tard, au lieu de désigner la puissance deuxième de a par aa, la puissance troisième de a par aaa, ........., et, en général, la puissance nième de a par aaa..a, on les représente respectivement par a2, a3, a1, ......., απ. n fois Les degrés 2, 3,..., n indiquent le nombre de fois que a entre comme facteur dans la puissance désignée. |