La science de la quantité précédée d'une étude analytique sur les objets fondamentaux de la science

pendants; leur suite est illimitée s'il s'agit d'une fonction incommensurable avec les variables indépendants. Les coefficients des puissances des variations Ax, Ay, dans chaque groupe, sont les dérivées partielles, de même ordre que le degré de ces puissances, de la fonction proposée par rapport à chacun des variables.

D'autre part, nous avons démontré au no 210 que: 1° deux fonctions qui ne different que par un nombre constant, ont la même dérivée par rapport à l'un quelconque de leurs variables; 2° toute fonction de certains variables, qui diffère d'une autre fonction par sa composition même, n'a pas les mêmes dérivées que celle-ci; 3° réciproquement, si les dérivées de deux fonctions sont égales entre elles pour toutes les valeurs du variable par rapport auquel elles sont prises, renfermées entre certaines limites, les fonctions primitives sont les mêmes ou ne peuvent avoir entre elles qu'une différence constante pour les mêmes valeurs du variable. La connaissance de la fonction primitive entraîne donc la connaissance de la fonction dérivée par rapport à tout variable que la première contient, et la connaissance de la fonction dérivée entraîne la connaissance de la fonction primitive à un nombre constant arbitraire près, pourvu que l'on parvienne à découvrir les procédés qui conduisent de l'une à l'autre.

Nous savons chercher les dérivées des fonctions, mais il nous reste une tâche importante à remplir: la recherche des fonctions primitives lorsqu'on

connaît les fonctions dérivées ou lorsqu'on connaît des relations entre les fonctions dérivées et la fonction primitive.

On conçoit aussi, d'après ce qui a été dit ci-dessus, que les variations de degré quelconque (1) de deux fonctions qui ne diffèrent que par un nombre constant sont les mêmes, et que, par suite, la connaissance d'une variation de degré quelconque d'une fonction entraîne la connaissance de la fonction primitive à un nombre constant arbitraire près.

La recherche des fonctions primitives au moyen des dérivées, ou de relations entre les dérivées et les fonctions, ou des variations de degré quelconque des fonctions primitives constitue l'objet de ce qu'on appelle ordinairement : le calcul intégral. Nous pensons qu'avant d'aborder ce nouveau sujet, il convient de se rendre compte comment, dans les questions qui concernent les quantités des substances et des formes matérielles, on parvient à la connaissance des dérivées ou des variations de degré quelconque des fonctions dont on s'occupe.

C'est pourquoi nous développerons d'abord la Science de l'espace dans laquelle nous aurons à étudier des fonctions particulières. Elle formera le sujet d'un ouvrage que nous espérons pouvoir publier bientôt.

(1) On a déjà remarqué que nous entendons par variation du premier degré, du deuxième degré,.... d'une fonction les nombres qu'on désigne ordinairement sous les termes, assez vagues à notre avis, de différentielle première, seconde....

ERRATUM.

Page 364, au lieu de :

Désignons par Av, Ay, Az, Au, .... etc., jusqu'à (page 365): La dérivée d'une fonction v de plusieurs fonctions, etc.;

Lisez :

....

Désignons par Av, Ay, Az, Au, les accroissements de correspondants à un accroissement Ax de x.

v, y, z, u, .....

Nous aurons pour la variation Av:

▲v = ƒ(y + ▲y, z + ▲z, u + ▲u, ....) — ƒ (y, z, u, ........)

Δυ

ᎪᏟ

= f(y+Ay, ≈ + ▲z, u + ▲u, ....) — ƒ (y, z ✈ ▲z, u + ▲u, ....) +f(y, z+▲z, u + ▲u, ....) — ƒ (y, z, u + ▲u, ........)

+f(y, z, u + Au, ....)f (y, z, u,...)

On a donc

f(y+▲y, z + ▲z, u + ▲u, ...) — ƒ (y, z + ▲z, u + ▲u,...) ▲y

ду

f(y, z + ▲z, u + ▲u, ...) — ƒ (y, z, u + ▲u, .....) Az

f(y, z, u + ▲u, ...) — ƒ (y, z, u, ...) ▲u

Ax'

Δ.

A.C

et, puisque la limite d'une somme est égale à la somme des limites de ces parties, nous obtiendrons pour la limite vers laquelle tend lorsque Ax et, par suite, Ay, Az, Au,

Δυ