nôme R ainsi transformé, on parvient à un reste nul. Ce résultat semblerait indiquer que R, est diviseur commun de q et de , mais cela est évidem ment impossible d'après l'inspection de R, dont les coefficients sont des fonctions de y, tandis que le coefficient de 3 dans p (x, y) et dans (x, y) est égal à l'unité. P Pour expliquer cette contradiction, il faut observer qu'on a, par inadvertance, introduit dans R le carré du coefficient dont x est affecté dans R, sans s'assurer si ce coefficient n'est pas facteur de la partie de R, non affectée de x. Or, c'est précisément ce qui a lieu, car cette partie revient à — y (y1 — 10y3 — 35y2 — 50y + 24). D'après cette remarque, ce n'est pas R, qui constitue le diviseur commun aux deux proposées, mais R, débarrassé du facteur y1— 10y3 + 35y250y+24, c'est-à-dire X- -Y. Supprimant le facteur x- y danset, on obtient pour résultat les deux équations P1 (x,y) = x2-(2y+5) x + y2+5y+6=0 41 (x, y) = x2-4уx+4y2-1-0 dont le système conduit à l'équation finale y1 — 10y3 +35y50y+24=0 et aux racines y= 1, 2, 3, 4. On trouve pour les valeurs de x correspondantes x=3, 5, 5, 7. REMARQUE. Pour plus de développement, on pourra consulter l'Algèbre de LEFEBURE et le traité de MAYER et CHOQUET. 266. Calcul expéditif des valeurs des racines incommensurables avec l'unité d'un système de plusieurs équations à plusieurs inconnus. Nous nous borne rons à considérer un système de deux équations à deux inconnus Supposons que l'on ait trouvé une valeur a approchée de x, une valeur correspondante b approchée de y, et cela au moyen des méthodes précédentes. Désignons par x' la fraction qu'il faut ajouter à a, par y' la fraction qu'il faut ajouter à b, pour que a + x', b+ y' soient des valeurs convenables des racines. ... Six et y sont suffisamment petites, on pourra négliger les puissances x2, y'2, bien entendu si les valeurs demandées ne doivent pas être rigoureusement exactes, et admettre que x', y' soient telles que do (a, b) de (a, b) - 4 (a, b) dx dy x' + Ainsi a + x', b + y' seront d'autres valeurs, plus rapprochées des véritables valeurs des racines, qu'on pourra substituer au lieu de a et de b dans x' et y', pour obtenir de nouvelles fractions x" et y" à ajouter à a + x' et b + y'; de sorte que a + x + x", b+y +y" seront des valeurs plus approchées encore de celles des racines. Et ainsi de suite. On trouvera de la même manière, en prenant pour a et b ces dernières valeurs de x et de y, qui sont exactes, à moins de 0,000001 près. § IV. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LOGARITHMIQUES ET EXPONENTIELLES PAR LA MÉTHODE DES DÉRIVÉES. 267. La méthode de Newton (n° 259, 1°) s'applique avec succès à la recherche des racines des équations qui renferment des fonctions d'un variable incommensurables avec celui-ci. Nous ne pouvons nous occuper ici que des équations où entrent des fonctions logarithmiques et exponentielles du variable. Lorsque, dans une pareille équation, nous aurons pu trouver une valeur a assez approchée de celle de la racine pour que l'omission de la fraction ε p' (a) n'altère pas le nombre des dernières subdivisions décimales adoptées dans chacun des resserrements successifs, nous appliquerons ultérieurement la méthode de Newton. & désigne ici une série composée d'un nombre illimité de termes et, à ce sujet, on se rappellera tout ce qui a été dit relativement au reste de la série (12) du no 229. ε Prenons pour exemple l'équation 4(x) = xx 100 = = 0. (1) On voit immédiatement que la racine est com prise entre 3 et 4, puisque o (3) -73 et q(4)=156. Mais, pour simplifier la résolution, qu'on calcule x par l'équation équivalente il viendra 4(x) = = x log10 x = 0; 4′(x) = log10 x + log10 €, et, par suite, (voir le n° 259) à moins de 0,1 près; approximation utile, puisque La dernière substitution se rapprochant le plus de zéro, on adoptera pour nouvelle valeur approchée x=3, 6; et l'on trouvera à moins de 0,001 près. On verra que & (3,597) est soustractif, tandis que & (3,598) est additif. Une approximation subséquente amènerait valeur dont les dernières subdivisions décimales sont exactes et qu'on pourrait encore resserrer davantage. |