étant donnés, déterminer leur somme. C'est l'objet de l'opération nommée addition. Deux nombres d'unités étant donnés, déterminer l'excès du plus grand sur le plus petit. C'est l'objet de la soustraction. § Ier. DES OPÉRATIONS A EFFECTUER SUR LES NOMBRES De l'addition des nombres d'unités entières. ..., 8. Deux ou plusieurs nombres A, B, C, D, .. d'unités entières étant donnés, déterminer leur somme S, c'est-à-dire le nombre d'unités entières qui en contienne à lui seul autant qu'il y en a dans ces divers nombres réunis : telle est la question à résoudre. 9. Addition des nombres d'unités du premier ordre. -Leur addition n'offre aucune difficulté : une analyse simple, à laquelle l'homme procède dès qu'il a acquis quelque culture intellectuelle, permet de trouver immédiatement la somme de deux ou plusieurs de ces nombres. On reconnaît ainsi que le nombre entier 3 est la somme des nombres entiers 1 et 2; que 4 est la somme de 1 et de 3, de 2 et de 2; que 5 est la somme de 1 et de 4, de 2 et de 3, de 1 et de 2 et de 2, etc. (2). (1) Pour abréger le discours, nous dirons souvent nombre entier, au lieu de nombre d'unités entières; nombre fractionnaire, au lieu de nombre d'unités fractionnaires. (2) Pour abréger l'écriture, on écrit que: 5 est la somme de 2 et 3, ou de 1, de 2 et de 2, de la manière suivante : 5 23; 5=1+2+2; le signe représentant à la pensée l'idée plus. 10. Addition de plusieurs nombres d'unités quelconques, A, B, C, D,... Il est clair qu'on aura déterminé la somme de ces nombres si l'on parvient à déterminer la somme de leurs parties, savoir des nombres d'unités du premier ordre, du deuxième ordre, du troisième ordre, tiennent. qu'ils con Soit, par exemple, à trouver la somme des nombres 36407, 829, 95036 et 804. En remarquant que 36407 3 dizaines de mille + 6 unités de mille ou S = 12 dizaines de mille +11 unités de mille + 20 centaines S +5 dizaines + 26 unités 1 centaine de mille + 3 dizaines de mille + 3 unités de mille +0 centaines +7 dizaines + 6 unités, nombre entier dont l'expression chiffrée est Ainsi, l'on a 133076. 3640782995036 +804= - 133076. SYNTHÈSE. De cette démonstration, on conclut que l'on pourra procéder à l'addition de plusieurs nombres entiers de la façon suivante : 36407 829 95036 804 133076 On écrit les expressions chiffrées des nombres les unes en dessous des autres, de manière que les chiffres désignant des unités d'un même ordre soient sur une colonne verticale, et on souligne le tout. On ajoute successivement les nombres d'unités du premier ordre, du deuxième ordre, du troisième ordre, ..., en ayant soin d'extraire de chaque somme partielle les unités de l'ordre immédiatement supérieur qu'elle contient, pour les ajouter à la somme des unités de cet ordre qui se trouvent dans les nombres. On place en dessous de la barre l'expression de la somme cherchée. De la soustraction des nombres d'unités entières. 11. Deux nombres étant donnés, chercher l'excès du plus grand sur le plus petit ou la différence entre le plus grand et le plus petit: tel est l'objet de la soustraction. On peut aussi définir la soustraction, une opération qui a pour objet : « Étant donnée la somme de deux nombres d'unités et l'un d'eux, déterminer l'autre, » et, de ce point de vue, la soustraction est l'inverse de l'addition. 12. Soustraction des nombres d'unités du premier ordre. Tant que les nombres proposés ne renferment que des unités du premier ordre, la soustraction est facile. Ainsi, l'excès de 9 sur 6 est 3, ou la différence de 9 à 6 est 3, ou si l'on soustrait 6 de 9, il reste 3. De même 5 de 7 il reste 2, etc. (1). Il est encore facile de soustraire un nombre d'unités du premier ordre d'un nombre quelconque. Ces résultats, qui supposent seulement la connaissance des sommes des nombres d'unités du premier ordre, vont servir de base à la soustraction des nombres quelconques. 13. Soustraction des nombres d'unités quelconques. Soit, par exemple, à soustraire 5467 de 8789. On aura évidemment déterminé la différence entre 8789 et 5467 si l'on parvient à soustraire successivement de 8789 toutes les parties de 5467. Or, en remarquant que 8789 8 unités de mille 4-7 centaines - 8 dizaines 9 unités, 5467 5 +4 +6 on trouve que leur différence D est D +7 3 unités de mille + 3 centaines+2 dizaines +- 2 unités, nombre dont l'expression chiffrée est DEUXIÈME EXEMPLE. 3322. Soit à trouver l'excès de 83456 sur 28784. En remarquant que 8 diz. de mille+ 3 unités de mille+4 cent. +5 diz. +6 unités, (1) Pour abréger, on écrit que c est la différence entre a et b, ou que c est l'excès de a sur b, ou que a moins b est égal à c, de la manière suivante: ou, pour rendre les soustractions partielles possibles, que 83456 - 7 dizaines de mille + 12 unités de mille + 13 centaines +15 dizaines + 6 unités, on trouve que l'excès de 83456 sur 28784 est D = ou 5 diz. de mille + 4 unités de mille + 6 cent. +7 diz. + 2 unités, 54672. SYNTHÈSE. De cette démonstration on conclut que l'on pourra procéder de la manière suivante à la soustraction de deux nombres d'unités entières : 7,12,13,15 83456 28784 54672 On écrit les expressions chiffrées des nombres l'une en dessous de l'autre, de manière que les chiffres qui représentent des unités d'un même ordre soient dans une même colonne verticale, et on souligne le tout. On soustrait successivement les nombres d'unités du premier ordre du plus petit nombre de celles du plus grand, les dizaines des dizaines, les centaines des centaines,..., en empruntant une unité d'ordre supérieur s'il est nécessaire. On place en dessous de la barre l'expression du nombre demandé. REMARQUE. On vérifiera la soustraction en ajoutant au plus petit nombre le reste trouvé. Par cette opération, on doit reproduire le plus grand nombre, car il résulte des notions mêmes de somme et de différence que si on a c = a - b, a = c + b, et réciproquement de: a=b+c, il résulte |