de système décimal ou à base dix, parce que, dans ce système, on regarde dix unités d'un certain ordre comme formant l'unité d'un ordre de grandeur immédiatement supérieur.

On appelle donc base d'un système de numération le nombre d'unités d'un certain ordre qui est regardé comme formant l'unité de l'ordre de grandeur immédiatement supérieur. On conçoit que cette base est arbitraire.

4. De la nomenclature des fractions d'unité. Entre deux quantités qui contiennent deux nombres consécutifs d'unités entières choisies pour termes de comparaison, il existe évidemment une infinité d'autres quantités renfermant, outre des unités entières en même nombre que la première quantité, toutes les fractions possibles de l'unité principale. Or, puisqu'on peut concevoir l'unité divisée en autant de parties égales que l'on veut, en deux parties appelées deuxièmes (moitiés), en trois parties appelées troisièmes (tiers), en quatre parties appelées quatrièmes (quarts), en cinq parties appelées cinquièmes, il faut pouvoir énumérer toutes les quantités fractionnaires renfermant des nombres quelconques de ces parties. L'énoncé d'une fraction comprend nécessairement deux nombres : celui qui désigne en combien de parties l'unité a été divisée, -on l'appelle dénominateur, et celui qui compte combien de ces parties renferme la fraction, l'appelle numérateur.

on

Par exemple, cinq huitièmes d'unité, sept neu

vièmes d'unité sont des fractions énoncées. La première fraction contient cinq parties de l'unité divisée en huit parties égales; la deuxième sept parties de l'unité divisée en neuf parties égales. Les nombres cinq, sept sont les numérateurs, les nombres huit, neuf sont les dénominateurs.

On conçoit, d'après cela, qu'il est possible d'énoncer une fraction quelconque lorsqu'on a établi la nomenclature des nombres d'unités entières.

5. Du système de signes graphiques employés à représenter les nombres d'unités entières.-Quelque simple que soit la nomenclature des nombres d'unités, on éprouverait beaucoup de peine à les étudier en eux-mêmes et dans leurs rapports si l'on n'employait des signes graphiques capables de les représenter rapidement à la pensée. Nous exposerons ici le système généralement adopté aujourd'hui.

On est convenu de représenter les neuf premiers nombres d'unités ou les quantités du premier ordre: une unité, deux unités, trois unités, quatre unités, cinq unités, six unités, sept unités, huit unités, neuf unités, respectivement par les chiffres ou signes graphiques

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

et en établissant cette règle, de pure convention, que tout chiffre placé à la gauche d'un autre représentera un nombre d'unités entières de l'ordre immédiatement supérieur à celui des unités du nombre exprimé par cet autre, ou, en d'autres

termes, que, lorsque plusieurs chiffres sont écrits les uns à la suite des autres, le premier chiffre à droite représente un nombre d'unités simples; le chiffre immédiatement à gauche, un nombre d'unités du deuxième ordre ou de dizaines; le troisième, un nombre d'unités du troisième ordre ou de centaines, ...; il est aisé de voir qu'on pourra, en général, représenter tous les nombres d'unités entières à l'aide des caractères précédents.

Soit, par exemple, à représenter par des chiffres le nombre de trois cent soixante-dix-neuf unités. Cette quantité se compose de neuf unités, plus sept dizaines, plus trois centaines, et peut, par conséquent, d'après la règle convenue, être représentée par

379.

De même, la quantité de vingt-huit mille deux cent quarante-sept unités sera représentée par

28247.

Caractère ou chiffre 0 (zero).- Il y a cependant des nombres qu'on ne peut représenter en ne faisant usage que des neuf chiffres précédents. Soient, par exemple, à écrire les nombres de dix, vingt, trente, ..., unités. Ces nombres ne contenant pas d'unités simples, on a dû adopter un chiffre qui ne désigne aucune quantité par lui-même, mais qui serve à tenir, dans l'expression graphique d'un nombre, la place des unités de chaque ordre qui manquent dans le nombre proposé. Ce chiffre, qui

marque l'absence de toute quantité, est 0 (zero). A l'aide de ce caractère, les nombres de dix unités,

vingt unités, trente unités,..., se représentent par

L'expression graphique du nombre de deux cent huit mille dix-neuf unités est, d'après cela,

208019;

celle du nombre de trente-six billions cinq cents millions vingt mille quatre cent sept unités,

36500020407.

Pour

6. Des caractères employés à représenter graphiquement les fractions de l'unité primitive. représenter une fraction par des chiffres, on est convenu de placer l'expression chiffrée du numérateur au-dessus de celle du dénominateur, en interposant une barre. Ainsi, le signe graphique de la fraction trois quarts d'unité, est

3

4

celui de la fraction vingt-trois trente-cinquièmes d'unité, est

23 35

Le signe graphique d'une quantité renfermant un nombre d'unités entières et une fraction s'obtient par la combinaison de leurs signes. Ainsi, la quantité trente unités et quatre cinquièmes de l'unité, s'écrit

CHAPITRE II.

DES QUANTITÉS OU DES NOMBRES D'UNITÉS CONSIDÉRÉS DANS LES RAPPORTS SIMPLES DE GRANDEUR QU'ILS SUPPORTENT ENTRE EUX ET DES OPÉRATIONS QUI DÉTERMINENT CES RAPPORTS.

7. Il résulte de l'essence même des quantités qu'elles ont entre elles des rapports de grandeur. Toute quantité A, comparée à une autre B, est plus grande ou plus petite que celle-ci ou lui est égale ('). Si A> B, A est la somme de B et d'une troisième quantité C; si AB, elle est la différence entre B et une troisième C ou l'excès de B sur C; si A est égal à B, les deux quantités sont identiques. En d'autres termes, deux nombres d'unités différents ont entre eux des rapports d'addition ou de soustraction.

Ces considérations nous amènent à résoudre les deux questions suivantes :

Des nombres d'unités entières ou fractionnaires

(1) Pour abréger l'écriture, on représente l'idée est plus grand par le signe >, l'idée est plus petit par le signe <, et l'idée est égal par le signe. Ainsi, les jugements:

A est plus grand que B; A est plus petit que B; A est égal à B, s'écrivent respectivement :