en fournit au moins une, car le dernier terme est précédé de ; donc le produit ou la nouvelle équation admet au moins une variation de plus que le multiplicande ou l'ancienne équation. Mais l'introduction de la nouvelle racine additive peut avoir amené 3, 5, 7, en général, (2n+1) variations nouvelles. En effet, il est constaté que dans le produit il n'y a pas eu perte de variations sur les (n + 1) premiers termes, mais l'on pourrait en amener 2, 4, 6, ... et, en général, un nombre pair de nouvelles, et cela suivant la qualité des signes incertains qui pourraient être, dans les termes du produit correspondant au premier groupe du multiplicande, et, par suite, au lieu d'une variation, il y en aurait 3 ou 5, ..., un nombre impair, ce qui constituerait un gain de 2, 4, 6, ..., ou d'un nombre pair de variations. Les mêmes circonstances se présentent dans tous les autres groupes, sauf dans le dernier, dans lequel les variations supplémentaires doivent être en nombre impair, de sorte que le nombre total des variations introduites doit être impair. 0, on COROLLAIRE I. Si, dans l'équation (x) change x en (x), les racines additives de la transformée seront les racines soustractives de la proposée, donc le nombre des racines soustractives de la proposée ne peut surpasser le nombre des variations de la transformée. complète, le changement de x en (-x) s'effectue en changeant les signes des termes de rang pair. Par ce changement, les permanences deviennent des variations et réciproquement. Par conséquent, dans une équation complète qui admet autant de racines qu'il est marqué par son degré, le nombre des racines additives est égal au nombre des variations et celui des racines soustractives est égal au nombre des perma nences. Si l'on veut faire usage de ce dernier principe, quand il manque des termes dans l'équation, il faut d'abord la compléter en rétablissant tous les termes qui manquent, et qu'on doit considérer avec le double signe +. Soit, par exemple, Cette équation n'offre pas de permanence, et cependant elle a une racine soustractive, car elle est de degré impair et son dernier terme est additif (no 248). Mais si l'on rétablit d'abord les termes qui manquent, l'équation peut s'écrire comme suit x(±0.x1)(±0.x3) — 2x3 (±o.x) + 1 = 0 =0 et l'on voit qu'elle offre toujours une permanence quel que soit le signe de l'avant-dernier terme. REMARQUE. L'application du théorème de ce numéro fait souvent reconnaître si l'équation admet moins de racines qu'il n'est marqué par son degré. Si le nombre possible de racines soustractives joint au nombre possible de racines additives fournit une somme inférieure au degré de l'équation, on est certain qu'il manque au moins autant de racines qu'il y a d'unités dans la différence. Par exemple, l'équation x5. 2x2+1 0 admet, au plus, deux racines additives et, au plus, une racine soustractive; donc, elle a, au moins, deux racines de moins qu'il n'est marqué par son degré. De même x8+Ax3 Bx — c — o admet, au plus, une racine additive, au plus une racine soustractive. Il lui manque six racines. § II. DE LA RECHERCHE DES RACINES D'UNE ÉQUATION A UN INCONNU. 254. Recherche des racines de degré multiple d'une équation. Nous avons vu (n° 241) qu'une équation de degré m 4 (x) = x2 + A1 xm−1 + А1⁄2 xm−2+ +Am =0 peut admettre m, m — .... 1, m 2, ... 3, 2, 1 racines suivant qu'elle affecte une des formes On parvient à déterminer si une équation donnée affecte l'une ou l'autre de ces formes et à calculer en même temps les racines a telles que la fonction. proposée soit divisible par une puissance du binôme (x-a) (1). A cet effet, remarquons que, si un nombre a est racine de degré n tuple d'une équation 4 (x) = x2 + A, xm−1 + +Am 0, ou si (x) est divisible aussi racine des (n par (x .... a)", le nombre a est 1) premières dérivées de p (x), c'est-à-dire que celles-ci sont divisibles par (x effet, si (x) est de la forme a). En 1) premières dérivées affectent les formes (x)=(x-a)n-1.1 (x), ç′′ (x) = (x — an−2. 41⁄2 (x), 4(n−1) (x) = (x — α). ¥n—ı (x). de degré Le nombre a est racine de degré (n g'(x), de degré (n 2) tuple de "(x), simple de 1) (x). (n-1) D'après cela, dès qu'il existe une racine de degré multiple dans (x), il y a un diviseur commun à 4 (x) et à '(x). Recherchons la composition de ce diviseur, en supposant que 4 (x) = (x — ajp (x — bja.... (x — ƒ)2 (x — h); (1) Pour nous exprimer plus facilement, nous appellerons degré de multiplicité d'une racine a le degré de la puissance du binôme (x—a) par laquelle l'équation proposée est divisible. Si celle-ci est divisible par (x-a), par exemple, a est une racine de deg én tuple. on a '(x) = p(x — a)p-1 (x — b)a .... (x — f)2 (x — h) -- +2(x-a)p(x — bja.... (x — ƒ) (x — h) et le diviseur commun est D = (x — a)p—1 (x — bja−1 .... (x —ƒ). Ainsi donc, le diviseur total commun à une équa tion admettant des racines de degré multiple et à sa dérivée est le produit des facteurs simples qui se trouvent à une certaine puissance dans l'équation proposée, l'exposant de chacun de ces facteurs étant diminué d'une unité. Dès lors, pour reconnaître si une équation admet des racines de degré multiple, on cherche le diviseur total D commun à? (x) et à (a). Les racines de g'(x) données par D= 0 sont au moins de degré double dans (x). Des opérations successives rendront aisément compte du degré de multiplicité de chacune des racines. Mais voici un théorème qui complète et simplifie la recherche des racines de degré multiple. THEOREME. On peut toujours ramener la résolution d'une équation qui a des racines de degré multiple à celle de plusieurs autres équations dont la première n'admet que les racines de degré simple, la seconde les racines de degré double, la troisième les racines de degré triple, etc., de la proposée. |