CHAPITRE V. DE LA RECHERCHE DES VALEURS DES VARIABLES INDÉPENDANTS SOUS LESQUELLES UNE FONCTION DE CES VARIABLES ACQUIERT DES VALEURS DÉTERMINÉES. RÉSOLUTION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS. I. - Des équations de degré quelconque à un inconnu. § Ier. DU NOMBRE DE RACINES D'UNE ÉQUATION DE DEGRÉ QUELCONQUE A UN INCONNU ET DE SA COMPOSITION. 240. Occupons-nous d'abord des fonctions d'un seul variable indépendant, commensurables avec celui-ci. Soit, en général, une fonction de degré m, 2-1 -2 4(x) = Axm + А1 xm−1 + А ̧ xm¬2 + +Am-1 x + Am, .... Ao, A1, A2, ..., Am désignant des nombres constants, et cherchons à déterminer les nombres x qui la rendent égale à un nombre donné, additif ou soustractif, k, ou qui la rendent telle que Ao xm + A1 xm−1 + A2 xm−2 + + (Am — k) === 0. .... La question revient donc à déterminer les valeurs de x qui rendent une fonction 241. Du nombre des racines d'une équation de degré m quelconque. Il peut y avoir au plus m nombres x qui annulent la fonction de degré m, 4(x): = xm + A1 xm−1 + A2 xm−2+ + Am. En effet, de la manière la plus générale, ce polynôme du même degré sera le produit de m binômes (x+a1)(x+aş).... (x + am), a1, a2,..., am désignant des nombres additifs ou soustractifs et, par conséquent, s'annulera pour Un polynôme (x) du mime degré peut aussi pro venir de et, dans ces cas, il y aura respectivement m – 1, 3, 2, 1 nombres x qui annulent Enfin le polynôme peut n'être divisible par aucun binôme xa et alors il n'y a pas de nombre x qui l'annule. En résumé : Toute équation du mieme degré admet au plus m racines. Si un nombre a, additif ou soustractif, est une racine de (x) Ф =o, y (x) est divisible par x-a, quel que soit x. Car,(x) est de la forme (xa) (xm-1+ B1 xm-2 + ....). Réciproquement, si 4 (x) est divisible par x — a, a est une racine de l'équation 4 (x) = 0. Si a n'est pas racine de l'équation 4 (x) = 0, & (x) n'est pas divisible par xa, et réciproquement. 242. De la composition d'une fonction de degré m, 4(x) xm + A1, xm -- 1 + A2 xm−2 + +Am, = dont les racines sont a1, a2, aз, ..., am. Si dans l'égalité xm + A1 xm-1 + + Am = (x — a1) (x — α2) ........ (x · on effectue les calculs du second membre, il vient égalité dont les termes doivent être identiques quel que soit x, c'est-à-dire qu'il faut que (1) Za, désigne la somme des nombres a1, a2, aз, ... analogues à a1. Donc : Dans toute équation de degré m, dont le premier terme a pour coefficient l'unité, xm + A1 xm−1+ +Am-1 x + Am = 0, .... le coefficient du second terme, A,, est égal à la somme des racines, prise avec un signe contraire au sien. Le coefficient du troisième terme, A2, est égal à la somme des produits, deux à deux, des racines. Le coefficient du quatrième terme, A3, est la somme de leurs produits trois à trois, prise avec un signe contraire au sien, et ainsi de suite. Enfin le dernier terme Am est égal au produit de toutes les racines, pris avec son signe ou avec un signe contraire, suivant que le degré de l'équation est pair ou impair. 243. D'une transformation utile que l'on peut faire subir à une équation. Rendre les racines d'une équation k fois plus grandes ou k fois plus petites, et transformer une équation qui a des coefficients fractionnaires en une autre qui ait des coefficients entiers et dont le premier terme ait l'unité pour coefficient. Pour obtenir une équation dont les racines soient k fois plus grandes que celles d'une équation (2) = o, on adoptera pour nouvel inconnu y=kx, lié à x par y 1 L'équation demandée ? (4) = o s'obtiendra en multipliant chacun des termes de la proposée xm + A1 am-1 + A2 xm−2 + + Am =0 .... respectivement par chacun des termes de la progression par multiplication (X) 1, k, k2, ..., km. En effet, le résultat k .... = 0 (1) xm + A1 kxm-1 + A2 k2 xm−2 + +Am km: est le même que celui qu'on obtient en remplaçant, dans la proposée, x par et en se débarrassant des dénominateurs. Seulement, lorsque la proposée ne renferme pas toutes les puissances de l'inconnu depuis la même jusqu'à la première, il faut avoir soin de négliger dans la progression les termes qui correspondent aux lacunes. Si les racines doivent être rendues k fois plus petites, on adoptera pour nouvel inconnu Pour répondre à la dernière partie de la question, supposons que quelques-uns des coefficients A1, A2, soient fractionnaires; adoptons encore = ... x. Si nous choisissons k de manière que tous les dénominateurs qui se trouvent dans A1, A2, y entrent comme facteurs et, pour cela, il suffit ... |