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variables sont nuls, et l'on en conclut, comme au

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§ II.

DE L'APPLICATION DES FORMULES PRÉCÉDENTES AU CALCUL DES FONCTIONS RACINES ET LOGARITHMES INCOMMENSURABLES.

237. Calcul d'une fonction racine incommensurable. -Nous avons trouvé, au no 229, application 2o, une série dont la somme avait pour limite une racine nieme quelconque d'un binôme, mais cette série était elle-même composée de parties incommensurables. Recherchons une série qui ait pour limite une racine quelconque d'un binôme xh et qui soit composée de parties commensurables avec le variable indépendant x, de manière à servir avantageusement au calcul de cette racine.

A cet effet, remarquons que

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h

en désignant par y. La question revient donc à

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développer en une série dont les parties soient commensurables avec y, la fonction

£ (y) = (1 + y)m,

m étant quelconque, entier ou fractionnaire. On a, en appliquant la formule (14) du n° 229,

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Il est facile de voir que si y est > 1, la série est divergente. Si, au contraire, y est < 1, la série converge vers le premier nombre (1+ y)".

h

On aura donc, à condition de prendre 2 < 1,

x

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Six est commensurable, la question est résolue. EXEMPLE. - Calculer la racine cubique de 31. Remarquons que

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27 étant le plus grand cube parfait contenu dans 31.

On a

1

(31) 3 (274)3 273 (1+241)

et, appliquant la série (1),

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27

3

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3+

+

21 2187 531441

2560 43046721

+

Le calcul des cinq premiers termes donne

1

(31)3

3,14138.....

à moins de 0,00001 près, comme on pourra le démontrer aisément.

238. Calcul des fonctions logarithmes incommensurables. Les méthodes de calcul des logarithmes exposées dans la première partie du livre II suffisent pour construire des tables de logarithmes, mais ces méthodes sont très laborieuses et même impraticables lorsqu'on veut déterminer la valeur des logarithmes avec un grand degré d'approximation. Le développement en série des fonctions logarithmes donne une méthode bien plus expéditive.

Supposons qu'on veuille calculer le logarithme d'un nombre N plus grand que 1, d'après un système à base plus grande que 1, par exemple d'après le système à base e (voir le n° 230). On aura

N=1+x,

et en appliquant la formule (14) du no 229, il vient

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La série n'est convergente, comme le fait voir l'examen du reste, que si x est plus petit que 1, et ne pourra pas servir au calcul des logarithmes des nombres plus grands que 2.

Voici une autre série qui permettra de calculer

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série qui donne Log. (x+1) au moyen de Log. x et qui est très convergente, lorsque x est un grand nombre.

Cependant on peut encore obtenir une série plus commode. En appliquant la formule (14), on trouve

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On peut tirer de ces formules diverses conséquences que l'on trouvera dans les cours d'analyse. (Voir, par exemple, le cours d'analyse de M. Sturm, nos 136, 137, 138.)

239. Calcul des fonctions exponentielles. En

appliquant la formule (12) du n° 229, on trouve,

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série convergente quel que soit x, entier ou fraction

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