230. Recherche des dérivées des fonctions logarithmes incommensurables avec le variable dont elles dépendent. I. Nous pouvons maintenant reprendre la recherche de la dérivée d'un nombre y fonction logarithme d'un variable x d'après le système à base a, c'est-à-dire tel que

Or nous savons, d'après le n° 229, application 2o,

Quel que soit 1<<1, elle converge vers le premier

m

membre et reste toujours finie; on en conclut que, lorsque m augmente indéfiniment, elle converge vers une certaine limite que nous désignerons par e, limite qui est incommensurable avec l'unité, mais

e= 2,7182 18284 .....

à moins de 0,0000000001 près.

On trouve ainsi

REMARQUE.

Si l'on adopte le nombre e pour base

du système de logarithmes, on a

Comme nous adopterons généralement cette base, pour éviter d'écrire l'indice e, nous désignerons un logarithme de ce système par Log.

II. Dérivée de la fonction y = a. — 1o Le variable indépendant peut être le logarithme de la fonction y d'après un système à base quelconque a. On conclut

L'unité est la limite vers laquelle converge le nombre désigné par a, lorsque Ax diminue indéfiniment (nos 18), 190). On aura donc, pour une valeur particulière de ▲x,

a1x = 1 + ß,

ẞ désignant un nombre qui converge vers la nullité en même temps que Ax, et, par suite,

Il suffit de connaître la limite vers laquelle converge le quotient du nombre dont a surpasse l'unité sous une valeur quelconque Ax, divisé par Ax, lorsque ces deux nombres convergent indéfiniment vers la nullité.

D'autre part, ẞ convergeant indéfiniment vers la nullité, on a, d'après la série (2)

et, par suite, sous une valeur particulière de ß,

1

(1 + B)3 = e.+ Y,

Y désignant un nombre qui converge vers la nullité en même temps que 3, ou bien encore,

moyen de logarithmes du système à base e, on aura

au lieu de (4),

sx. Log a

=

Log (1+3),

et l'on trouvera sans peine

REMARQUE. y = a s'appelle ordinairement une fonction exponentielle de x.

§ II. RECHERCHE DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS INCOMMENSURABLES D'UN SEUL VARIABLE INDÉPENDANT, COMPOSÉES DES PRÉCÉDENTES.

les

231. Les règles qui concernent la dérivation des fonctions composées et que nous avons établies au no 215, I, II subsistent naturellement pour nouvelles fonctions que nous venons d'examiner. Donnons quelques exemples:

1° Dérivée de y

=

Log [x + (a2 + x23)13].

Désignant x + (a2 + par z, on a

y

et, d'après le no 215, I,

x2)2 Log z,

=

On voit que: La dérivée d'une fonction logarithme d'une fonction d'un variable indépendant est égale à l'unité divisée par cette dernière fonction et multipliée par la dérivée de celle-ci par rapport à l'indépendant. Dans l'exemple proposé, il vient