Si l'on désigne par Au la variation de u correspondant à une variation Ax de x, et par Au la variation de u correspondant à une variation Ay

Axu (x + Ax, y + Ay, ...)-(x, y +▲y, ...)

Ay

Ax

=

Ax

Дуи 4(x+Ax, y+Ay, ...) & (x + Ax, y, ...)

Ax

4(x+Ax, y, ...) — 4 (x, y,...).

Ax

4(x, y +▲y,...) — 4 (X, Y,...) Ay

Or, les deux nombres du second membre varient simultanément lorsque Ax et Ay tendent vers zéro,

ils restent constamment égaux entre eux dans tous les états de grandeur par lesquels ils passent; donc, ils tendent tous deux vers la même limite, et l'on

Il résulte de cette identité que le résultat de plusieurs dérivations successives est toujours le même quel que soit l'ordre dans lequel on opère par rapport aux divers variables. En effet, le résultat de dérivation désigné par

CHAPITRE III.

RECHERCHE DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS INCOMMENSURABLES AVEC LEURS VARIABLES INDÉPENDANTS.

225. Les seules fonctions incommensurables que nous examinerons ici sont celles auxquelles nous avons été conduits par la considération des nombres d'unités, mesures de toutes les substances et des formes matérielles, envisagés en eux-mêmes et indépendamment de celles-ci, que ces substances et ces formes soient variables dans le temps et dans l'espace ou dans le temps seulement. Nous trouverons d'autres fonctions incommensurables dans toutes les branches des sciences des formes de la Matière, entre autres dans la science de l'espace et des quantités variables dans l'espace.

Les fonctions incommensurables dont il faut en ce moment chercher les dérivées sont les fonctions racines incommensurables et les fonctions logarithmes

incommensurables.

§ Ier.

RECHERCHE DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS INCOMMENSURABLES EXPLicites d'un seuL VARIABLE INDÉPENDANT.

226. Dérivée d'une fonction y racine du nombre Soit la fonction

variable x.

la racine n'ème de la puissance m' de la puissance meme de l'indépendant,

étant > ou < 1, c'est-à-dire m > ou <n.

m

forme sous laquelle il est impossible de reconnaître la limite.

Mais, de (1), on conclut que y est une fonction de x telle que

La dérivée de y, d, est donc telle que (no 218)

dx'

est soustractif. Quelle signification faut-il donner à ce résultat? Pour la découvrir, remontons aux puissances renfermées dans le nombre (2) désigné par

х

Ainsi, on doit admettre que (-), obtenu par suite de combinaisons d'exposants faites d'après des règles démontrées, désigne le nombre

Ceci nous prouve que, dans tout calcul dans lequel on a à combiner des puissances et des racines d'un nombre, si le résultat est affecté d'un exposant soustractif, on peut et l'on doit admettre que le nombre désigné par cette expression est l'unité divisée par le nombre considéré affecté de l'exposant pris additive

ment.

Les dérivées que nous venons de trouver et celle du no 214, III, montrent que :

=

La dérivée d'un nombre y, fonction d'un variable x exprimée par y xm, l'exposant m étant quelconque, entier ou fractionnaire, est égale à m fois le variable affecté d'un exposant égal à m—1. (Si cet exposant est soustractif, on connaît la signification de l'expression.)

227. Dérivée de la fonction