z étant une fonction d'une fonction y d'un variable indépendant x, on prouvera facilement que

216. DÉFINITION.

Soit y

y=(x) une fonction quelconque de x et dy sa dérivée, que nous repré

dx

sentons quelquefois par '(x). Cette dérivée étant une fonction de x (no 210), nous avons à considérer sa fonction dérivée, que nous appellerons dérivée seconde ou du second ordre de (x). De même, nous aurons à considérer la dérivée de la dérivée seconde, que nous appellerons dérivée troisième de (x), et 95 ainsi de suite.

Pour ne pas interrompre le discours plus tard, nous ferons connaître ici les signes graphiques par lesquels nous représenterons les dérivées des divers ordres d'une fonction(x). La dérivée première de (x) a été représentée indifféremment par ou g'(x); nous représenterons la dérivée seconde par

dy

dx

d3y

dou" (x), la dérivée troisième par ou "(x), .......,

dx3

dx3

et, en général, la dérivée neme par ou (x).

dny dxn

On conçoit qu'il n'est pas nécessaire de donner de nouveaux procédés pour chercher une dérivée d'ordre quelconque.

day

dxn

· ou p(n) (x) = m (m—1) (m2).. (m − n + 1) xm — n

nombre constant, et les dérivées ultérieures n'existent plus;

2o Chercher la dérivée nième du produit

Y =uv.

de deux fonctions u et v d'un variable indépendant x. On trouve (n° 215, III)

§ IV. - RECHERCHE DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS COMMEN

SURABLES IMPLICITEMENT LIÉES AU VARIABLE INDÉPENDANT
PAR UNE OU PLUSIEURS ÉQUATIONS.

218. Une fonction liée implicitement par une équation au variable indépendant n'est toujours commensurable avec celui-ci que si elle y entre seulement à la première puissance. Il sera alors facile d'exprimer explicitement la fonction au moyen du variable indépendant et, par suite, de trouver sa dérivée, mais cette résolution n'est pas même nécessaire, comme nous allons le faire voir.

Supposons que la fonction y soit liée au variable indépendant x par l'équation,

f(x, y) = 0.

On peut trouver la dérivée dy sans être obligé de

dx

résoudre l'équation par rapport à y. En effet, la fonction f(x, y) n'est autre qu'une fonction de x et d'une fonction y de x convenablement déterminée, et, comme la fonction f(x, y) est identiquement nulle pour toutes les valeurs de x que l'on considère, sa dérivée (n° 210) doit aussi être identiquement nulle; on aura donc, d'après la règle des fonctions composées d'autres fonctions (no 215), pour cette dérivée,

Mais le second membre contient encore la fonction y et si l'on veut exprimer la dérivée au moyen du variable indépendant seulement, il faudra remplacer y par sa valeur en x.

219. La recherche des dérivées de m fonctions liées au variable indépendant par m équations du premier degré n'offre pas plus de difficultés. Nous examinerons, lors de la détermination des dérivées des fonctions incommensurables avec le variable indépendant, le cas où les équations sont de degré supérieur.

§ V. RECHERCHE DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS COMMEN

SURABLES DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTS.

220. Dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables indépendants. Si l'on a une fonction

u = f(x, y, z, ........)

de plusieurs variables indépendants, on trouvera par les méthodes connues les dérivées de la fonction par rapport à chacun des variables, en regardant tous les autres comme des nombres constants, savoir:

Nous avons prouvé (no 210) que, pour une fonction donnée, toutes ces dérivées lui sont spéciales et bien définies, et que, lorsque ces dérivées sont connues, la fonction primitive est connue à un nombre constant arbitraire près.

EXEMPLE. Rechercher les dérivées partielles par rapport à x et à y de la fonction

221. Dérivées partielles d'une fonction composée de fonctions de plusieurs variables indépendants. — Soit, par exemple, une fonction

p = (u, v),