Ax Lorsque Ax, et par suite Ay, diminuent indéfiniment sans cependant jamais être nuls, le point M' s'approche indéfiniment du point M sans jamais se confondre avec lui; la sécante MM' tend indéfiniment vers sa position limite sans jamais l'atteindre, position limite qui est celle de la tangente MT à la courbe au point M; et le quotient A tend indéfiniment vers son nombre limite, que nous désignerons par sans jamais lui être égal, nombre limite qui est le nombre d'unités de la tangente de l'angle TMN que la tangente MT fait avec l'axe des x, et qui dépend évidemment de la valeur de x (OP), mais qui est le même, que la variation Ax soit additive ou soustractive. dy dx Le nombre fonction de x, lim. ΔΥ Ar ои dy limite dx' vers laquelle tead, sans jamais l'atteindre, mais de manière à en différer aussi peu qu'on le voudra, le quotient de la variation d'une fonction de ce variable, divisée par la variation du variable, lorsque ces variations diminuent indéfiniment, sans jamais être nulles, sera appelé la fonction DÉRIVÉE de la fonction PRIMITIVE par rapport à x. Si la fonction primitive u = ƒ (x, y, z, ....) renferme plusieurs variables x, y, z. ..., il y aura lieu de distinguer les fonctions dérivées de u par rapport à chacun de ces variables, savoir lim. Ou lim. Ou lim. Ou All du All du All du Ax dx' ΔΥ dy' AS dx' Une fonction d'un ou de plusieurs variables serat-elle déterminée si ses dérivées par rapport à chacun des variables sont déterminées? Réciproquement, une fonction donnée de certains variables. a-t-elle des dérivées par rapport à chacun de ces variables, qui lui soient spéciales et bien définies? De sorte qu'alors la connaissance des dérivées entraînerait celle de la primitive, ou réciproquement, si l'on parvient à découvrir les procédés de calcul qui conduisent de l'une à l'autre. Pour décider la question, faisons voir que: 1° Deux fonctions, qui ne different que par un nombre constant, ont la même dérivée par rapport à l'un quelconque de leurs variables. En effet, soient y et y+c ces deux fonctions contenant le variable x, c étant constant, c'est-à-dire indépendant des variables du problème. Si l'on désigne par Ay l'accroissement de la fonction y correspondant à un accroissement Ax du variable x, la dérivée de y donc, les dérivées de y et de y+c par rapport à chacun des variables qu'elles renferment, sont égales, ce qu'on écrit dy+c) dy : 2° Toute fonction de certains variables, qui diffère d'une autre fonction de ces variables par sa composition même, n'a pas les mêmes dérivées que celle-ci. Il est clair, en effet, que si y et z sont deux fonctions du variable x, formées de combinaisons différentes de rapports de grandeur, les variations Ay et Az, correspondant à une variation Ax de x, sont différentes, et, par suite, que et aussi lim. A et lim. A sont différentes; car, si deux ᎪᏗ Δ Ах Ay et Ax Az Ax nombres Ay et 4, qui varient simultanément, ne Ах Δ.Ε sont égaux dans aucun des états de grandeur par lesquels ils passent, il est certain que le nombre limite vers lequel tend le premier ne sera pas le même que celui vers lequel tend le second; 3° Réciproquement, si les dérivées de deux fonctions sont égales entre elles pour toutes les valeurs du variable par rapport auquel elles sont prises, les fonctions primitives seront les mêmes ou ne peuvent avoir entre elles qu'une différence constante, pour les mêmes valeurs du variable. Je dis que si y et z sont deux fonctions de X, telles que = on aura y = z ou y z + c. Cela résulte logiquement des deux propositions précédentes. On peut donc affirmer que : Toutes les fonctions d'un ou de plusieurs variables, qui ne different entre elles que par un nombre con stant, ont, par rapport à chacun de leurs variables, les mêmes dérivées bien définies, et qu'une fonction dérivée donnée appartient à des fonctions primitives égales ou qui ne different entre elles que par un nombre constant. De sorte que la connaissance de la fonction primitive entraîne la connaissance de la fonction dérivée par rapport à tout variable que la première contient, et que la connaissance des fonctions dérivées entraîne la connaissance de la fonction primitive à un nombre constant arbitraire près, si l'on parvient à découvrir les procédés qui conduisent des unes aux autres. 211. On conçoit que souvent les fonctions dérivées d'une fonction primitive qui lie les quantités d'objets matériels sont plus faciles à obtenir que cette fonction primitive elle-même, et alors la connaissance de cette dernière dépendra de la connaissance des procédés qui déterminent une fonction primitive au moyen de ses dérivées. Pour se rendre compte de ces procédés, il est nécessaire d'examiner d'abord .comment on obtient les dérivées d'une fonction donnée. C'est ce dont nous allons nous occuper. Nous chercherons successivement les dérivées des fonctions commensurables avec leurs variables, et celles des fonctions incommensurables avec leurs variables, et nous tirerons de ces recherches les conséquences qui se présenteront. CHAPITRE III. RECHERCHE DES FONCTIONS DÉRIVÉES DES FONCTIONS COMMENSURABLES AVEC LEURS VARIABLES INDÉPENDANTS. 212. Nous distinguerons successivement les fonctions d'un seul nombre variable considéré comme indépendant des autres nombres du problème, et les fonctions de plusieurs nombres variables indépendants. Par exemple, le nombre d'unités, mesure de l'aire d'un cercle ou d'une sphère, est fonction du nombre d'unités, mesure de la longueur de leur rayon, lorsque celle-ci est indépendante ou arbitraire; le nombre d'unités, mesure du volume d'un cylindre de révolution, est fonction des nombres d'unités, mesures des longueurs de sa hauteur et du rayon de la section droite, lorsque celles-ci sont indépendantes. § Jer RECHERCHE DES DÉRIVÉES DE FONCTIONS EXPLICITES 213. Les fonctions peuvent être exprimées immédiatement au moyen du variable ou des variables dont elles dépendent. Elles sont alors explicites. |