qu'elles se présenteront. Dans la science de la quantité, nous avons à nous occuper uniquement de la variation des fonctions en général, et à examiner en particulier celles qui résultent de la considération des nombres d'unités, abstraction faite des objets qui les supportent. 207. Des signes graphiques par lesquels nous représenterons les fonctions. Nous indiquerons, d'une façon générale, qu'un nombre y est une fonction d'un autre x par les signes et qu'un nombre u est fonction de plusieurs autres x, y, z, par les signes и 4(x, y, z, ..), .... Nous désignerons par les dernières lettres de l'alphabet x, y, z, u, t, v, ... les nombres variables, par les premières lettres a, b, c, d, ... les nombres constants d'une question. et Il 208. De l'image schématique d'une fonction. est utile de représenter une fonction d'un nombre variable par une image schématique, afin de saisir la nature de la relation qui lie la fonction au variable. On a imaginé, pour obtenir un scheme du rapport entre une fonction y (x) et son variable x, de porter sur une droite OX, dans un sens déterminé, à partir d'un point origine O, autant d'unités de longueur qu'il y a d'unités dans le nombre x, et de porter, sur des parallèles à une droite fixe OY qui coupe OX, de A en B, de A' en B', de A" en B", autant d'unités de longueur que y ... renferme d'unités sous les divers états de x. L'allure de la courbe, lieu des extrémités B, B', B", fournit une image sensible de la variation de la fonction. Pour que cette image soit complète, on admettra que les valeurs soustractives du variable x soient portées à gauche de O et les valeurs soustractives de y en dessous de la ligne OX. On prend ordinairement des lignes fixes OX et OY qui se coupent à angle droit. CHAPITRE II. REMARQUES GÉNÉRALES SUR LA VARIATION DES FONCTIONS DE CERTAINS VARIABLES. 209. De la continuité dans la variation des fonctions. Les objets matériels limités et leurs formes ne peuvent passer d'un état quelconque à un autre sans passer par tous les états intermédiaires; leur état de quantité est donc soumis à cette loi. En d'autres termes, tout nombre d'unités ou toute fonction de nombres, variables dans l'espace et dans le temps ou dans le temps seulement, et qui ont une existence réelle ou objective, ne peuvent se modifier que d'une manière continue; le caractère de la continuité d'une fonction de nombres variables consiste en ce que l'on peut toujours assigner aux variables des états de grandeur assez voisins, pour que les différences entre les états de grandeur correspondants de la fonction soient aussi petits qu'on le voudra. En particulier, la variation de toute fonction réelle ou objective (1) d'un variable (1) Les seules dont nous nous occuperons, puisque nous rejetons tout subjectivisme ou toute imaginarité. est continue, c'est-à-dire que, pour toute valeur la valeur absolue de la différence de x, 4(x+h)-(x) décroît indéfiniment lorsque l'accroissement h du variable, suffisamment petit, décroît indéfiniment. 210. Des fonctions DÉRIVÉES de fonctions données. Chaque fonction particulière varie, d'une manière continue, d'une quantité qui lui est propre, lorsque l'on fait varier d'une certaine quantité un des variables dont elle dépend. L'essence d'une fonction sera parfaitement connue lorsqu'on connaîtra la quantité dont elle varie, additivement ou soustractivement, pour une variation additive ou soustractive de chacun de ses variables, c'est-à-dire lorsqu'on connaîtra le nombre de fois que la variation de la fonction contient la variation du variable, quelle que soit celle-ci. Par conséquent, il suffira même de connaître le nombre LIMITE, vers lequel tend, sans jamais l'atteindre, mais de manière cependant à en différer aussi peu qu'on le voudra, le quotient de la variation de la fonction, divisée par la variation du variable, lorsque cette dernière variation, et, par suite, celle de la fonction, diminuent indéfiniment sans jamais être nulles. On conçoit que cette limite sera une autre fonction dépendant de la valeur considérée du variable, mais qu'elle sera indépendante de la variation additive ou soustractive donnée à ce variable. Pour nous faire mieux comprendre, donnons une image schématique de ces notions. Soit la fonction y = 4 (x), et représentons, comme nous l'avons expliqué au n° 208, la courbe schématique AB de cette fonction, les droites fixes se coupant à angle droit. Considérons le point M qui correspond à des valeurs de x et de y représentées respectivement par OP et PM. Si l'on donne à la valeur de x représentée par OP un certain accroissement ▲ x représenté par PP', il en résulte pour la valeur de y représentée par PM un accroissement Ay représenté par M'N, et le quotient Ay définira la variation de la fonction, quel que soit ▲x. Ay Le quotient est le nombre d'unités de la tan Ax gente de l'angle M'MN que fait avec l'axe OX la sécante passant par les points M et M' de la courbe. |